Skúškové písomky LS 2017/18

[Martin Sleziak]

Podobne ako minulý semester, budem sem priebežne dávať aké písomky boli na skúškach. (Zrejme by ste si ich tak či tak medzi sebou rozšírili. Takto môžete čas ktorý by ste strávili scanovaním alebo prepisovaním stráviť užitočnejšie.)
Tento topic by som chcel nechať na tento jeden účel - ak by ste mali k niektorým príkladom otázky, skúste začať nový topic.

[Martin Sleziak]

25.5.2018

• Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
  a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
  b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?
• Zistite, či dané grupy sú izomorfné:
  a) $G=(\mathbb R,+)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$;
  b) $G=(\mathbb Z_8,\oplus)$, $H=(\mathbb Z_2,\oplus)\times(\mathbb Z_4,\oplus)$.
  (Označenie $\mathbb R^+$ znamená \emph{kladné} reálne čísla, t.j. $\mathbb R^+=\{x\in\mathbb R; x>0\}$.)
• Dokážte, že pole komplexných čísel $(\mathbb C,+,\cdot)$ je izomorfné s okruhom všetkých matíc tvaru $ \begin{pmatrix}
  a & b \\
  -b & a
  \end{pmatrix}$, $a,b\in\mathbb R$, s operáciami obvyklého sčitovania a násobenia matíc.
• Nájdite rozklad polynómu $f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb R[x]$ a v $\mathbb Q[x]$.

[Martin Sleziak]

1.6.2018

• Nech $G$ je grupa, $a\in G$. Dokážte, že zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(x)=axa^{-1}$ je izomorfizmus.
• Nech $G$ je konečná grupa a $H$ je jej podgrupa taká, že $[G:H]=2$. Ukážte, že $H$ je normálna podgrupa grupy $G$ a že pre každý prvok $x\in G$ platí $x^2\in H$.
• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb R[x]$ a ich násobnosť: $$f(x)=6x^4-x^3+x^2-5x+2.$$
• Nájdite minimálny polynóm čísla $\sqrt2+\sqrt3$ nad $\mathbb Q$. Je tento polynóm ireducibilný nad $\mathbb Q$?

[Martin Sleziak]

8.6.2018

• Nech $G$ je grupa $a,b,c\in G$. Dokážte, že prvky $abc$, $bca$ a $cab$ majú rovnaký rád.
• Centrom grupy $G$ nazývame množinu $$Z(G)=\{g\in G; (\forall h\in G)gh=hg\}.$$ Inými slovami, $Z(G)$ pozostáva presne z tých prvkov, ktoré komutujú so všetkými prvkami $G$. Ukážte, že $Z(G)$ je normálna podgrupa grupy $G$.
• Nech $R$ je obor integrity, $a,b\in R$. Dokážte, že ak $a^2=b^2$, tak $a=b$ alebo $a=-b$. Ukážte na príklade, že tvrdenie neplatí v ľubovoľnom okruhu (t.j. ak predpoklad, že $R$ je obor integrity, nahradíme predpokladom že $R$ je okruh.)
• Nájdite rozklad polynómu $f(x)=x^4+1$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb R[x]$ a v $\mathbb Q[x]$.

[Martin Sleziak]

15.6.2018

• Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy grupy $G$, $a\in A$ a $b\in B$, tak $aba^{-1}b^{-1}\in A\cap B$.
• Nech $G$ je grupa, $x,y\in G$. Dokážte, že prvky $xy$, $yx$ majú rovnaký rád.
• Nájdite všetky racionálne korene daného polynómu $f(x)\in\mathbb R[x]$ a zistite ich násobnosť: $f(x)=6x^4+x^3+8x^2-9x+2$.
• Dokážte, že polynóm $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}$ nemá viacnásobný koreň (nad poľom $\mathbb R$). Hint: Môže pomôcť pozrieť sa na jeho deriváciu.

[Martin Sleziak]

22.6.2018

• Nech $G$ je grupa, $a\in G$. Dokážte, že zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(x)=ax$ je bijekcia.
• Dokážte: Ak $I_1$, $I_2$ sú ideály v okruhu $R$, tak aj
  $$J=\{a+b; a\in I_1, b\in I_2\}$$
  je ideál v $R$.
• Nájdite normovaný najväčší spoločný deliteľ $d(x)=\gcd(f(x),g(x))$ a vyjadrite ho v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ pre $f(x)=x^8-1$, $g(x)=x^5-1$
• Dokážte, že v $\mathbb C[x]$ platí $x^2+x+1 \mid x^{3k}+x^{3l+1}+x^{3m+2}$ pre ľubovoľné $k,l,m\in\mathbb N$.