Úlohy ZS 2018/19

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Dokážte: Nech $f,g\colon X\to Y$ a $h\colon Y\to Z$ sú zobrazenia. Ak $h$ je injekcia a $h\circ f=h\circ g$, tak $f=g$.

Úloha 1.2. Dokážte: Nech $f,g\colon Y\to Z$ a $h\colon X\to Y$ sú zobrazenia. Ak $h$ je surjekcia a $f\circ h=g\circ h$, tak $f=g$.

Úloha 1.3. Dokážte: Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí $g$ byť injekcia?

Úloha 1.4. Dokážte: Ak $g \circ f $ je surjekcia, tak aj $g$ je surjekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí byť $f$ surjekcia?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
1 M. Dlugošová
1 M. Ferech
1 M. Sládek

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n=id$, ak $\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{pmatrix}$. Vypočítajte aj $\varphi^{-1}$.

Úloha 2.2. Ak viete, že ide o tabuľku asociatívnej binárnej operácie, doplňte chýbajúce výsledky (ak sa to dá).
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline\hline
a & b & a & c \\\hline
b & & & \\\hline
c & & & \\\hline
\end{array}
$$

Úloha 2.3. Ak $(G,\circ)$ je grupa a $a\in G$ je nejaký jej prvok, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(b)=a\circ b$ je
bijekcia.

Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu.

Úloha 2.5. Nech $(G,\ast)$ je grupa. Dokážte, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ existuje práve jedno $a$ také, že $x\ast a=y$. (Toto vlastne hovorí, že v tabuľke grupovej operácie sa v riadku $x$ vyskytne prvok $y$ práve raz.)

Úloha 2.6. Nech $(G,\circ)$ je grupa. Dokážte, že ak $x\circ x=x$, tak $x=e$.

Úloha 2.7. Dokážte: Ak pre každý prvok $x$ grupy $(G,\circ)$ platí $x\circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
4 M. Sládek
2 M. Dlugošová
2 F. Jurčák
1 R. Bíró
1 M. Ferech

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Dokážte, že:
a) V ľubovoľnom poli platí $(a+b)^m= a^m + \binom m1 \times a^{m-1}b + \binom m2 \times a^{m-2}b^2+ \ldots + \binom m{m-1} ab^{m-1} + b^m$. (Súčet na pravej strane sa zvykne označovať takto: $\sum_{k=0}^m \binom mk \times a^{m-k}b^k$.)
b) V poli $\mathbb Z_p$ platí: $(a\oplus b)^p=a^p \oplus b^p$.
Čo znamená $n\times a$ pre $n\in\mathbb N$ a prvok $a$ nejakého poľa nájdete v definícii 3.3.12.

Úloha 3.2. Pomocou úlohy 3.1 dokážte matematickou indukciou vzhľadom na $a$, že v $\mathbb Z_p$ platí rovnosť $a^p=a$ (pre ľubovoľné $a\in\mathbb Z_p$). (Toto je vlastne iná formulácia malej Fermatovej vety.)

Úloha 3.3. Zistite, či $F=\{a+\frac b{\sqrt2}; a\in \mathbb Q, b\in \mathbb Q\}$ je pole. (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Úloha 3.4. Dokážte, že v ľubovoľnom poli platí $x^2=y^2$ $\Leftrightarrow$ $x=y$ $\lor$ $x=-y$.

Úloha 3.5. a) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ dve riešenia.
b) Nájdite príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ jediné riešenie.
c) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ nemá riešenie?
d) Dá sa nájsť príklad poľa, v ktorom má rovnica $x^2=1$ viac ako dve riešenia?
e) Nájdite odpovede na rovnaké otázky pre rovnicu $x^2=-1$.

Úloha 3.6. Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cc}
+ & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}
&
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}
\end{array}
$$
Ukážte, že $(M,+)$ a $(M\setminus\{0\}, \cdot)$ sú komutatívne grupy a že platí distributívny zákon $(a+b)c=ac+bc$. Je $(M,+,\cdot)$ pole?

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
4 M. Sládek
3 M. Dlugošová
2 F. Jurčák
1 R. Bíró
1 M. Ferech
1 T. Janeta
(Ak by som niekomu zabudol zarátať nejaké úlohy, ozvite sa mi mailom.)

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1. Dokážte, že vo vektorovom priestore $V$ nad poľom $F$ pre každé $\vec\alpha, \vec\beta\in V$, $c\in F$ platí $c(\vec\alpha-\vec\beta)=c\vec\alpha-c\vec\beta$.

Úloha 4.2. Pre celé číslo $n$ a vektor $\vec\alpha$ definujeme $n\times\vec\alpha$ podobným spôsobom, ako sme definovali $n\times a$ pre prvok $a$ nejakého poľa $F$ (definícia 3.3.12). Dokážte, že potom platí $n\times(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)$.

Úloha 4.3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.

Úloha 4.4. $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\R}{\mathbb R}$Overte, či množina všetkých zobrazení $\Zobr f{\R}{\R}$ spĺňajúcich podmienku
$$(\forall x,y\in\R) f(x+y)=f(x)+f(y)$$
je podpriestorom priestoru $\R^{\R}$, t.j. priestoru všetkých zobrazení z $\R$ do $\R$. (Tejto podmienke sa zvykne hovoriť Cauchyho funkcionálna rovnica.)

Úloha 4.5. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ a $S\ne\emptyset$ je podmnožina $V$. Ukážte, že $S$ je podpriestor $V$ práve vtedy, keď pre ľubovoľné $c\in F$ a $\vec\alpha,\vec\beta\in S$ platí $\vec\alpha+c\vec\beta\in S$.

Úloha 4.6. Nech $V$ je vektorový priestor a pre každé $i\mathbb N$ je $S_i$ vektorový podpriestor priestoru $V$. Nech navyše pre každé $i\in\mathbb N$ platí, že $S_i\subseteq S_{i+1}$. Dokážte, že potom aj $S=\bigcup\limits_{i\in\mathbb N}S_i$ je podpriestor priestoru $V$. (Stručne: Ak mám neklesajúcu postupnosť podpriestorov $S_0\subseteq S_1 \subseteq \dots \subseteq S_i \subseteq S_{i+1} \subseteq \dots$, tak aj ich zjednotenie je podpriestor.)
Poznámka 1: Na prednáške ste videli, že prienik ľubovoľného systému podpriestorov je podpriestor. Pre zjednotenie to už neplatí - to napokon vidno aj z úlohy 4.3. Čiže skutočne sme museli pridať ešte nejakú podmienku navyše ak sme chceli zabezpečiť aby sme zjednotením dostali podpriestor.
Poznámka 2: Táto úloha by sa dala zovšeobecniť takto: "Nech $V$ je vektorový priestor a $\mathcal S$ je systém podpriestorov priestoru $V$ taký, že pre ľubovoľné $S_1,S_2\in\mathcal S$ platí $(S_1\subseteq S_2) \lor (S_2\subseteq S_1)$. Potom aj zjednotenie $\bigcup\mathcal S=\{\vec x; (\exists S\in\mathcal S) \vec x\in S\}$ je podpriestor priestoru $V$.

[Martin Sleziak]

Momentálny stav bodov:
5 E. Herencsárová
5 M. Dlugošová
4 M. Sládek
3 R. Bíró
2 F. Jurčák
1.5 M. Ferech
1 T. Janeta
1 D. Harmanová
(Ak by som niekomu zabudol zarátať nejaké úlohy, ozvite sa mi mailom.)

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Nech $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$, kde $V$ je ľubovoľný vektorový priestor. Dokážte: Ak $\vec\alpha$, $\vec\beta$, $\vec\gamma$ sú lineárne závislé a súčasne $\vec\alpha$, $\vec\beta$ sú lineárne nezávislé, tak $\vec\gamma$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec\alpha$ a $\vec\beta$.

Úloha 5.2. Ukážte, že $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2^2}$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R$ nad $\mathbb Q$.

Úloha 5.3. Zistite, či funkcie $1$, $2^x$, $3^x$ sú lineárne nezávislé vo vektorovom priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$.

Úloha 5.4. Množiny $S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\}$ a $T=\{(x,y,z); x+2y+3z=x-y+z=0\}$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. Ukážte, že ak vezmeme ľubovoľný nenulový vektor $\vec\alpha\in S$ a ľubovoľný nenulový vektor $\vec\beta\in T$, tak tieto vektory sú lineárne nezávislé.

V nasledujúcich úlohách budem spokojný aj ak spravíte riešenie iba pre lineárny obal konečnej množiny. Na prednáške ste lineárny obal (podpriestor generovaný danou množinou) definovali všeobecne, t.j. $[X]$ máte zadefinované pre ľubovoľnú množinu, nielen ak $X$ je konečná množina. Nemalo by byť oveľa ťažšie spraviť dôkaz tak, aby fungoval pre ľubovoľnú množinu.

Úloha 5.5. Nech $V$ je vektorový priestor, $A,B\subseteq V$. Dokážte, že ak $A\subseteq B$, tak $[A]\subseteq\left[B\right]$.

Úloha 5.6. Nech $V$ je vektorový priestor, $A\subseteq V$. Dokážte, že $[[A]]=[A]$.