Komplexné čísla ZS 2018/19

[Martin Sleziak]

V prípade záujmu by som mohol niekedy (mimo cvičení) porozprávať niečo o komplexných číslach. Najmä pre tých, ktorí komplexné čísla na strednej škole nemali - ale aj niekto, čo ich už ovláda, si môže veci o nich zopakovať. Na cvičeniach skúsim zistiť či je záujem a ak áno, tak sa pokúsime dohodnúť na termíne.

Komplexné čísla sú určite vec, ktorú by mal ovládať každý absolvent matfyzu. Na tej prednáške by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v tomto texte.

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexného čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientami.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná. To čo tam je, sa dá stihnúť za necelé dve prednášky.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i)\cdot(\sqrt 3+i)=\ldots$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientami.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Samozrejme, tým že budete počúvať dve prednášky niečo o komplexných číslach si ich určite neosvojíte. Na to, aby si človek zvykol s nimi robiť a vedel ich používať, určite treba, aby si aspoň samostatne vyskúšal niečo s nimi vyrátať. (Nejaké cvičenia sú aj v texte k prednáške v časti o komplexných číslach.)

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že by sme sa na komplexné čísla pozreli najbližšie dve stredy (t.j. 3. a 10. októbra) po cvičeniach (teda cca od 17.20).
Zostaneme v miestnosti F1-108, kde máme aj cviká.

[Martin Sleziak]

Čo sme stihli zatiaľ:
Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že sčitovanie a násobenie komplexných čísel sa "správa rozumne" (t.j. že komplexné čísla tvoria pole).
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla. Ako posledné sme stihli ukázať Moivrovu vetu.

Zhruba som išiel podľa týchto poznámok a zašiel som vetu B.2.3.
Nehovoril som nič o komplexne združených číslach (definícia B.1.7 a úloha B.1.1 v poznámkach) - vrátim sa k nim nabudúce.

V súvislosti s dôkazom, že komplexné čísla skutočne tvoria pole spomeniem, že niektoré veci sme teraz dokazovali dosť ťažkopádne a neskôr, keď sa naučíme niečo o maticiach, tak sa budú dokázať ľahšie. (Vyjdú skoro zadarmo z vecí, ktoré budete vedieť o maticiach.) Ak si teda na to spomeniete niekedy koncom semestra, keď už budete vedieť niečo o násobení matíc, inverzných maticiach, determinantoch, tak sa môžete pozrieť sem: viewtopic.php?t=571 (Alebo sa skúsiť aj sami zamyslieť nad tým, či by ste nevedeli vymyslieť nejaké vhodné matice, ktoré by mohli súvisieť s komplexnými číslami.)

[Martin Sleziak]

Dnes sme si povedali o komplexne združených číslach.
Ukázali sme si, že komplexné čísla môžu pomôcť odvodiť vzorec pre $\cos nx$ a $\sin nx$. (Dajú sa použiť pri veľa ďalších trigonometrických vzorcoch, toto bol len jeden príklad možného použitia. Iná vec čo by sa dala urobiť pomocou komplexných čísel je niečo takéto: How can we sum up $\sin$ and $\cos$ series when the angles are in arithmetic progression?)
Ukázali sme si, ako sa dajú riešiť binomické rovnice a kvadratické rovnice (s reálnymi koeficientmi resp. s komplexnými koeficientmi).
Ešte som stručne spomenul, že v komplexných číslach má každý polynóm koreň. (Tomuto výsledku sa niekedy hovorí základná veta algebry.)