Prednášky ZS 2018/19

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (24.9.)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ, Bézoutova identita, Euklidova lema. (Ako posledné sme stihli lemu 2.1.10.)

Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu. Plánujeme sa ale k nemu na tejto prednáške ešte vrátiť (najneskôr pri lineárnych kongruenciách).

[Martin Sleziak]

2. prednáška (1.10.)
Najväčší spoločný deliteľ. Dokončil som príklad z minula a povedal som niečo o n.s.n (vrátane vzťahu medzi n.s.d. a n.s.n.). Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla).
Rozloženie prvočísel. Ukázali sme, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Potom sme si ukázali jeden dôkaz toho, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje.
Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov, ktoré sme využívali v dôkaze.
Takisto sme v dôkaze využili to, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnota tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V existuje veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu: viewtopic.php?t=65

[Martin Sleziak]

3. prednáška (8.10.):
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si ďalšie dva dôkazy, že $\sum\frac1p=+\infty$.
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$. (Nerobil som časť o funkciách $\operatorname{li}(x)$ a $\operatorname{Li}(x)$.)
Prvočíselnú vetu som povedal bez dôkazu. Tu na matfyze sa s jej dôkazom môžete stretnúť napríklad na predmete Vybrané kapitoly z teórie funkcií komplexnej premennej v magisterskom štúdiu.

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (15.10.)
Prvočíselná funkcia. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.

[Martin Sleziak]

5. prednáška. (22.10.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát. Približne rovnaký dôkaz (s odchýlkami v niektorých detailoch) sa dá nájsť aj na Wikipédii: Proof of Bertrand's postulate.
Budúci pondelok prednáška odpadne - dekanské voľno.

[Martin Sleziak]

6. prednáška. (5.11.)
Fermatove čísla, Mersennove čísla. Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo Fermatových číslach a Mersennových číslach.. Ako zaujímavosť sme spomenuli aj Gauss-Wantzelovu vetu, ktorá hovorí o skonštruovateľnosti pravidelných $n$-uholníkov pravítkom a kružidlom a súvise s Fermatovými prvočíslami.
Kongruencie. Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)
Dokázal som aj nutné podmienky pre prvočíselné delitele Mersenových a Fermatových čísiel - tvrdenie 3.1.15 (ak $q\mid 2^p-1$, tak $p\mid q-1$) a vetu 3.3.11 (ak $p\mid 2^{2^m}+1$, tak $p=k2^{m+1}+1$).

[Martin Sleziak]

7. prednáška. (12.11.)
Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami/ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.) Toto celé vlastne súvisí s faktorizáciou (faktorovými grupami, okruhmi, a pod.)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Vyriešili sme aj jeden konkrétny príklad a na ňom zopakovali aj rozšírený Euklidov algoritmus. (Zápis Euklidovho algoritmu pomocou tabuľky nemám v tých poznámkach, čo som vám dal - niekedy by som to tam mal dopísať. Ak si to niekto chce pozrieť, opäť pridám rovnakú linku, ktorú som sem už raz v súvislosti s Euklidovým algoritmom dal.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si aj konkrétny príklad.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (19.11.):
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (V dôkaze sme využili lemu 2.1.13, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil. Zdôvodnil som ju iba pomocou kanonického rozkladu - ak niekedy zvýši čas, tak sa vrátim k dôkazu, ktorý sa neopiera o kanonický rozklad.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.)
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme Eulerovu funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna. Z toho dostaneme vyjadrenie Eulerovej funkcie na základe kanonického rozkladu: $\varphi(n)=\prod_{i=1}^k \left(p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}\right) = n \prod_{i=1}^k \left(1-\frac1{p_i}\right)$.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (26.11.):
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dva dôkazy malej Fermatovej vety. (Kombinatorický dôkaz a induktívny dôkaz pomocou binomickej vety.) Viacero dôkazov tejto vety je pozbieraných aj na Wikipédii: Proofs of Fermat's little theorem.
Eulerova veta. Urobili sme dva dôkazy Eulerovej vety. (Urobil som dôkaz založený na grupe redukovaných zvyškových tried.)
Ešte Eulerova funkcia. Dokázali sme (dvoma spôsobmi) identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova veta a Wilsonova veta. Sformulovali sme Lagrangeovu vetu a ukázali, že vlastne vyplýva z toho, čo vieme o počte koreňov polynómov: viewtopic.php?t=1349
Ukázali sme Wilsonovu vetu - jeden dôkaz bol založený na Lagrangeovej vete, druhý využíval multiplikatívnu grupu poľa $\mathbb Z_p$.