Relácie ekvivalencie na R2

Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko

Post Reply
Martin Sleziak
Posts: 5817
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Relácie ekvivalencie na R2

Post by Martin Sleziak »

Zadania

Skupina A:
Nech M=R2 a R={((a,b),(c,d))M2;|a||c|=|d||b|}
reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)
Skupina B:
Nech M=R2 a R={((a,b),(c,d))M2;a2c2=d2b2}
reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)
Ak ste zvedaví na príklady z písomiek z minulých rokov z takejto témy (relácie ekvivalencie), tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=1162
viewtopic.php?t=753
viewtopic.php?t=504

O druhej úlohe - týkajúcej sa grúp sú na fóre dve vlákna:
viewtopic.php?t=963
viewtopic.php?t=498
Nebudem otvárať nové, riešenia sa dajú pozrieť tam.
Iný príklad týkajúci sa grúp, ktorý sa v minulosti vyskytol na písomke z výberového cvika: viewtopic.php?t=753 resp. viewtopic.php?t=334
Martin Sleziak
Posts: 5817
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Re: Relácie ekvivalencie na R2

Post by Martin Sleziak »

Riešenie
V oboch skupinách dostanete reláciu ekvivalencie.
Môžete sa zamyslieť aj nad tým, ako vyzerajú triedy rozkladu. Mali by ste zistiť, že v jednom prípade dostanete sústredné kružnice, v druhom štvorce so stredom v nule (otočené tak, že vrcholy ležia na súradnicových osiach).

Riešenie oboch skupín.
Všimnime si, že v skupine A sú dva body v relácii práve vtedy, keď
|a|+|b|=|c|+|d|

a v skupine B práve vtedy, keď
a2+b2=c2+d2.


Teda vlastne pre x,yM máme
(x,y)Mf(x)=f(y)

kde za funkciu f:R2R zvolíme v skupine A f(a,b)=|a|+|b| a v skupine B f(a,b)=a2+b2.
Dá sa vcelku ľahko skontrolovať, že takto dostaneme reláciu ekvivalencie na množine M pre ľubovoľnú množinu M a pre ľubovoľné zobrazenie f s definičným oborom M.
Pripomeniem, že toto bola aj jedna z úloh v 04faktor.pdf a je to tiež úloha v knihe LAG1, 1.6.12(1).
Spoiler:
Vlastne všetky podmienky vyjdú v podstate hneď z vlastností rovnosti. (Implicitne tu využívame aj definíciu zobrazenia.)
Reflexivínosť: f(x)=f(x)
Symetria: Ak f(x)=f(y), tak aj f(y)=f(x).
Tranzitívnosť: Ak f(x)=f(y) a f(y)=f(z), tak aj f(x)=f(z).
Dokonca sa dá pomerne ľahko ukázať aj to, že každá relácia ekvivalencie sa dá takto dostať pre vhodné zobrazenie definované na množine M. (Aj keď toto pozorovanie je užitočné skôr vtedy, keď vidno rýchlo nejakú pomerne prirodzenú voľbu pre f.)
Spoiler:
Ak máme ľubovoľnú reláciu ekvivalencie na množine M, tak ju môžeme dostať takýmto spôsobom ak použijeme ako zobrazenie f projekciu MM/, t.j. zobrazenie f:x[x], ktoré prvku priradí jeho triedu.
Samozrejme, aj ak si človek nevšimne, že sa to dá takto upraviť a je to vlastne špeciálny prípad niečoho čo vieme všeobecne, tak overiť vlastnosti relácie ekvivalencie je pomerne jednoduché.
Post Reply