Úloha 4.2.: Pre celé číslo $n$ a $\vec\alpha$ definujeme $n\times\vec\alpha$...

[Michaela Dlugošová]

Úloha 4.2.: Pre celé číslo $n$ a $\vec\alpha$ definujeme $n\times\vec\alpha$ podobným spôsobom, ako sme definovali $n\times a$ pre prvok $a$ nejakého poľa $F$ (definícia 3.3.12). Dokážte, že potom platí $n\times(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)$.

Riešenie.:
Rovnosť budeme rovnako ako v definícii 3.3.12 dokazovať indukciou. Dokážme si to pre prípad $n=0$:
$$0\times(c.\vec\alpha)=c.(0\times\vec\alpha)$$
Z definície $0\times\vec\alpha=\vec0$, a teda:
$$\vec0=\vec0$$
Majme predpoklad, že rovnosť platí a dokážme to pre $(n+1)$.
$$(n+1)\times(c.\vec\alpha)=c.( (n+1)\times\vec\alpha)$$
$$n\times(c.\vec\alpha)+(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha+\vec\alpha)$$
$$n\times(c.\vec\alpha)+(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)+(c.\vec\alpha)$$
$$n\times(c.\vec\alpha)=c.(n\times\vec\alpha)$$
A to platí z indukčného predpokladu. Pre objasnenie - medzi prvým a druhým riadkom sme použili roznásobenie podľa definície a medzi druhým a tretím riadkom klasické roznásobenie.
Ešte musíme overiť záporné čísla. Obdobne ako v definícii ("Ak $n>0$ tak definujeme $(-n)\times a=-(n\times a)$"):
$$(-n)\times(c.\vec\alpha)=-(n\times(c.\vec\alpha))$$
Podľa indukčného predpokladu $-(n\times(c.\vec\alpha))=-(c.(n\times\vec\alpha))$ a následne využitím vlastností klasického násobenia a definície:
$$-(c.(n\times\vec\alpha))=c.(-(n\times\vec\alpha))=c.((-n)\times\vec\alpha)$$
A tým sme rozšírili definíciu aj na záporné čísla.

[Martin Sleziak]

A to platí z indukčného predpokladu. Pre objasnenie - medzi prvým a druhým riadkom sme použili roznásobenie podľa definície a medzi druhým a tretím riadkom klasické roznásobenie.

Keď už rozpisujeme jednotlivé kroky, tak by sa azda žiadalo napísať aj že ako úplne prvý krok sme vlastne použili definíciu. (T.j. $(n+1)\times\vec\alpha=n\times\vec\alpha+\vec\alpha$, podobne pre $(n+1)\times(c\vec\alpha)$

Podľa indukčného predpokladu $-(n\times(c.\vec\alpha))=-(c.(n\times\vec\alpha))$ a následne využitím vlastností klasického násobenia a definície:

Asi o čosi správnejšie by bolo napísať "z toho čo sme už dokázali pre nezáporné celé čísla" než "podľa indukčného predpokladu".

Každopádne toto sú len drobné poznámky k použitým formuláciám, k riešeniu nemám v žiadne podstatné výhrady, značím si 1 bod.
Staršie riešenia: viewtopic.php?t=749