Priklady na precvicenie

[Jana Stolcova]

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$

1. Zistite, či dané body $A_0, \ldots , A_4, X \in \R^4$ tvoria barycentrický súradnicový systém a ak je to
možné, vyjadrite bod $P$ ako ich barycentrickú kombináciu.
(A)$A_0 = (1; 2; 1; 1), A_1 = (0; 2; 0; 1), A_2 = (2; 1; 0; 1), A_3 = (0; 1; 0; 3), A_4 = (2; 0; 0; 1),
P = (1; 2; 1; 1)$
(B)$A_0 = (1; 2; 1; 1), A_1 = (1; 2; 0; 2), A_2 = (2; 1; 0; 1), A_3 = (1; 1; 1; 1), A_4 = (2; 0; 1; 1),
P = (1; 0; 0; 1)$

2. Sú zadané body $A_0, \ldots , A_4, X \in \R^4$ a body $B_0, . . . , B_4\in \R^3$. Zistite, či body $A_0, \ldots , A_4$ tvoria barycentrický súradnicový systém v $\R^4$. Nech $(f, \varphi) : \R^4\rightarrow \R^3$ je afinné zobrazenie
také, že $f(A_i) = B_i$ pre $i = 0, 1, 2, 3, 4$. Vypočítajte $\varphi\stackrel{\longrightarrow}{(A_0X)}$.
$A_0 = (1, 2, 1, 0)$, $B_0 = (0, 0, 1)$,
$A_1 = (1, 0, 0, 1)$, $B_1 = (1, 3, 1)$,
$A_2 = (0, 1, 1, -1)$, $B_2 = (1, 0, 0)$,
$A_3 = (0, 0, 1, 1)$, $B_3 = (0, 1, 0)$,
$A_4 = (1, 1, 0, 0)$, $B_4 = (0, 1, 1)$,
$X = (3, 3, -1, -1)$

3. Nech $(f, \varphi) : \R^2\rightarrow \R^2$ je afinné zobrazenie také, že $f(1,2)=(4,1)$,
$f(3,1)=(2,2)$ a $\varphi(1,1)=(1,0)$. Vypočítajte $f(4,2)$ a $\varphi(4, -2)$.

4. Dané sú body $A,B,C,D,E$. Nájdi parametrické vyjadrenie roviny určenej bodmi $A,B,C$ a priamky prechádzajúcej bodmi $D, E$. Nájdi prienik týchto podpriestorov.\\
$A=(1,0,2), B=(3,2,-1), C=(1,1,2), D=(2,3,0), E=(1,0,0)$

5. Nájdi parametrické vyjadrenie nadroviny $\alpha$ určenej bodmi
$A=(5,-1,3,2), B=(6,-1,5,5), C=(5,0,6,0)$ a smerovým vektorom $\textbf{a}=(0,1,1,1)$.



6. Rovina $\alpha$ je určená bodmi $A, B, C$,
$\beta$ je zadaná všeobecnými rovnicami.
$A = (1, 1, 3, 1)$,
$B = (0, 0, 2, 2)$,
$C = (0, 0, 1, 1)$,
\begin{equation*}
\beta\equiv
\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 5
\\
x_1 - x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
\end{equation*}
Určte vzájomnú $\alpha$ a $\beta$.

7. V $\R^4$ je zadaná priamka $p$ a rovina $\alpha$. Určte ich vzájomnú polohu.
(A) \begin{equation*}
\alpha\equiv
\begin{cases} x_1 = u + v\\
x_2 = 1- v\\
x_3 = 1 - u\\
x_4 = v
\end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
p=
\begin{cases} x_1 = t\\
x_2 = 2 -t\\
x_3 = 1 -t\\
x_4 = t
\end{cases}
\end{equation*}
(B)
$$\alpha\equiv x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0$$
\begin{equation*}
p\equiv
\begin{cases} x_1 = t\\
x_2 = 2 -t\\
x_3 = 1 -t\\
x_4 = t
\end{cases}
\end{equation*}


8. Určte vzájomnú polohu roviny $\alpha$ a priamky $p$ v $\R^4$. Rovina $\alpha$ je určená bodmi $A, B, C$,
priamka $p$ je zadaná parametricky.
$A=(1,1,1,3),B=(0,0,2,2),C=(0,0,1,1)$
\begin{equation*}
p\equiv
\begin{cases} x_1 = 2+t\\
x_2 = 1 -t\\
x_3 = 1 \\
x_4 = 2t
\end{cases}
\end{equation*}

9. Určte vzájomnú polohu $\alpha$ a $\beta$.
\begin{equation*}
\alpha\equiv
\begin{cases} x_1 = 1\\
x_2 = -1 +w\\
x_3 = 1 +v+w \\
x_4 = -1+v+w\\
x_5 = 1+u+v+w
\end{cases}
\end{equation*}

$$\beta\equiv x_4-x_5+2=0$$

10. Dokážte, že prienik nasledujúcich priestorov je priamka a nájdite jej parametrické vyjadrenie. $$\alpha\equiv 7x_1-6x_2+5x_3 -35=0$$ $$\beta\equiv x_1-2x_2+x_3-7=0$$

11. Určte vzájomnú polohu nasledujúcich afinných podpriestorov. Ak existuje ich prienik, nájdite jeho parametrické vyjadrenie. $$V_1\equiv({4\over 3}, {-1\over 3}, 1)+s(1, -1, 0)+ t(1,1,-2)$$
$$V_2\equiv(2,0,1)+p(1,0,-1)+r(0,1,2)$$

[Jana Stolcova]

Ešte nejaké príklady na vzdialenosti:
$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
1. Sú zadané body $A$ a $B$. Tvoria body s vlastnosťou $|AX| = |BX|$ (kde $|PQ|$ znamená
vzdialenosť bodov $P$ a $Q$) afinný podpriestor $\R^4$? Ak áno, aký je to podpriestor, akú má
dimenziu? Nájdite jeho všeobecné a parametrické vyjadrenie.
(A) $A = (1; 0; 1; 3), B = (2; 1; 0; 1)$
(B) $A = (1; 1; 0; 3), B = (2; 0; 1; 1)$

2. Nájdite podpriestor $γ$ taký, že $γ ⊇ α$ a $γ⊥β$.
\begin{equation*}
\alpha\equiv
\begin{cases} x_1 = u\\
x_2 = 1 + v\\
x_3 = v\\
x_4 = v\\
x_5 = u
\end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\beta\equiv
\begin{cases}x_1 + x_3 + x_4 − 1 = 0\\
x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0
\end{cases}
\end{equation*}

3. Vypočítajte vzdialenosť bodu $A = (0, 2, 1, 0)$ od roviny $α$ a jeho kolmý priemet, pričom
\begin{equation*}
\alpha\equiv
\begin{cases} x_1=u+v\\
x_2=1−v\\
x_3=1−u\\
x_4=v
\end{cases}
\end{equation*}

4. Nájdite priamku $q$ takú, že $(0, 0, 0, 0) ∈ q$, $q⊥p$ a $q⊥α$.
\begin{equation*}
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1 − 2x_2 + x_3 − x_4 + 1 = 0\\
2x_1 + x_2 − x_3 + x_4 − 1 = 0
\end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
p\equiv
\begin{cases}
x_1 = −t\\
x_2 = t\\
x_3 = 1\\
x_4 = −1 + 2t
\end{cases}
\end{equation*}