Vlastnosti nearly open/closed, near closure

[Martin Sleziak]

Len sa ešte trochu vrátim k tomu, čo sme dnes robili na seminári - keďže som si uvedomil že to ide výrazne jednoduchšie.
Pripomeniem, že definície sa dajú nájsť tu: viewtopic.php?t=1348 Alebo v článkoch z tejto témy.

Ako prvú vec spomeniem, že nearly open sets tvoria topológiu:
1. Je vcelku jasné, že $\emptyset$ aj celé $\sigma(a)$ sú nearly open.
2. Pre prienik stačí použiť, že $(A\cap B)_M=A_M\cap B_M$.
3. Podobne pre zjednotenie stačí použiť, že ak $A=\bigcup\limits_{i\in I} A^{(i)}$, tak $A_M=\bigcup\limits_{i\in I} A^{(i)}_M$.

Teraz teda máme topológiu.
Definícia nearly closed je presne uzavretá vzhľadom na túto topológiu.
Takisto ten modifikovaný uzáver, ktorý je v článku označený ako $\overline A^{\bullet}$ je presne uzáver vzhľadom na túto topológiu.

Takže teraz vlastne dostávame zadarmo všetky veci, o ktorých vieme že platia pre otvorené/uzavreté množiny (a uzáver) všeobecne v topologických priestoroch.
Špeciálne: Množina je nearly closed práve vtedy keď $A=\overline A^{\bullet}$. A takisto hneď dostávame tú vec, ktorú som sa dnes snažil na seminári zdôvodniť (a robil som to komplikovanejšie), že doplnok $\overline A^{\bullet}$ je presne zjednotenie tých nearly open sets, ktoré majú prázdny prienik s $A$.

Otázka: Má topológia pozostávajúce z nearly open sets v $\sigma(a)$ resp. v $X$ nejaké pekné vlastnosti? Dá sa nejako pekne charakterizovať?