10. prednáška (3.12.):
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Möbiova inverzia.
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Prednášky ZS 2018/19
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2018/19
11. prednáška (10.12.):
Legendrov symbol. Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. (Vynechal som dôkaz podobného výsledku pre $8k+7$.) Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
Legendrov symbol. Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. (Vynechal som dôkaz podobného výsledku pre $8k+7$.) Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: viewtopic.php?t=794
Gaussova lema. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2018/19
12.prednáška (17.12):
Zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme si príklad výpočtu Jacobiho symbolu pomocou reciprocity. Tiež sme si ukázali ako ho môžeme použiť na zistenie pre ktoré nepárne prvočísla $p$ je trojka kvadratickým zvyškom.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme si príklad výpočtu Jacobiho symbolu pomocou reciprocity. Tiež sme si ukázali ako ho môžeme použiť na zistenie pre ktoré nepárne prvočísla $p$ je trojka kvadratickým zvyškom.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol, ukázali sme jeho vlastnosti, vrátane zákona kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.