Riadková ekvivalencia - matice z písomky

[Martin Sleziak]

Zistiť či pre dané matice sú alebo nie sú riadkovo ekvivalentné je úplne štandardný príklad so štandarnými postupom - upravím matice na redukovaný trojuholníkový tvar, matice sú riadkovo ekvivalentné práve vtedy, keď dostanem rovnaké redukované trojuholníkové matice.

Nebudem tu písať výpočty, napíšem len výsledky. Vo všetkých skupinách bola správna odpoveď, že matice sú riadkovo ekvivalentné. Napíšem sem aj ako mala vyjsť RTM.

Skupina A:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 1 & 3 \\
1 & 4 & 4 & 4 \\
\end{pmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 4 & 3 \\
\end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}$

Skupina B:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 6 \\
2 & 1 & 3 & 2 \\
3 & 4 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Skupina C:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 & 3 \\
1 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 4 & 2 & 5 \\
\end{pmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 4 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 3 & 6 \\
\end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

Skupina D:
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 3 & 4 & 6 \\
2 & 3 & 5 & 2 \\
\end{pmatrix}
\qquad\text{a}\qquad
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 4 \\
3 & 1 & 4 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 5 \\
\end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Pripomeniem aj to, že pri úprave na RTM vieme urobiť (aspoň čiastočnú) skúšku správnosti: viewtopic.php?t=531

Chyby, ktoré sa vyskytli v riešeniach

Síce pri niektorých veciach môžeme namiesto pôvodnej matice používať transponovanú alebo kombinovať riadkové a stĺpcové úpravy (konkrétne pri výpočte hodnosti). Nie je to však pravda o riadkovej ekvivalencii. Neplatí, že $A\sim B$ a $A^T\sim B^T$ sú ekvivalentné tvrdenia.

[Martin Sleziak]

Ak si chcete pozrieť príklady zo starých písomiek z minulých rokov:
viewtopic.php?t=1191
viewtopic.php?t=811
viewtopic.php?t=401

Ostatné príklady z tejto písomky nájdete tu:
viewtopic.php?t=1377
viewtopic.php?t=1378
viewtopic.php?t=1190
viewtopic.php?t=1376
viewtopic.php?t=1375