Exercise 17.3

[Martin Sleziak]

Exercise 17.3. Show that every group of order 12 has 3, 4 or 12 linear characters, and hence cannot be simple.

Teraz už vieme, že počet jednotiek vo vyjadrení $G=\sum d_i^2$ je rovný počtu prvkov faktorovej grupy $G/G'$, a teda delí počet prvkov $G$. (Theorem 17.11)
V našom prípade to teda môže byť 1,2,3,4,6,12. Skúšaním zistíme, že jediné možnosti sú
$12=12\times1^2$
$12=4\times1^2+2\times2^2$
$12=3\times1^2+3^2$
V prvom prípade je $G$ komutatívna, teda každá jej podgrupa je normálna a má $k$-prvkovú prodgrupu pre každé $k\mid12$.
V ostatných dvoch prípadoch vidíme, že $|G'|$ je 3 alebo 4, teda máme nejakú netriviálnu vlastnú normálnu podgrupu.