Exercise 17.4

[Martin Sleziak]

Exercise 17.4. A certain group $G$ of order 12 has precisely six conjugacy classes, with representatives $g_1, \dots, g_6$ (where $g_1 = 1$), and has irreducible characters $\chi$, $\phi$ with values as follows:
$$
\begin{array}{ccccccc}
& g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 \\\hline
\chi & 1 & -i & i & 1 & -1 & -1 \\
\phi & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2
\end{array}
$$
Use Proposition 17.14 to complete the character table of $G$. What are the sizes of the conjugacy classes of $G$?

Vieme pridať triviálny charakter, komplexne združený charakter k $\chi$ a každý viacrozmerný charakter vynásobiť jednorozmerným:
$$
\begin{array}{ccccccc}
& g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 \\\hline
\overline{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi & 1 & -i & i & 1 & -1 & -1 \\
\overline{\chi} & 1 & i & -i & 1 & -1 & -1 \\
\phi & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2 \\
\phi\chi & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & -2
\end{array}
$$

Už nám chýba jediný charakter, ktorý musí byť jednorozmerný a všetky hodnoty musia byť reálne.
$$
\begin{array}{ccccccc}
& g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 \\\hline
\overline{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi & 1 & -i & i & 1 & -1 & -1 \\
\overline{\chi} & 1 & i & -i & 1 & -1 & -1 \\
\phi & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2 \\
\phi\chi & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & -2 \\
\psi & 1 & a & b & c & d & e
\end{array}
$$

Stĺpcová podmienka pre $g_1$ nám povie, že $1+a=0$, čiže $a=-1$. Z rovnakých dôvodov $b=-1$, a ďalšie chýbajúce prvky takisto vieme dorátať zo stĺpcových podmienok.
$$
\begin{array}{ccccccc}
& g_1 & g_2 & g_3 & g_4 & g_5 & g_6 \\\hline
\overline{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi & 1 & -i & i & 1 & -1 & -1 \\
\overline{\chi} & 1 & i & -i & 1 & -1 & -1 \\
\phi & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2 \\
\phi\chi & 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & -2 \\
\psi & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
$$
Namiesto použitia stĺpcových podmienok sme mohli chýbajúci charakter nájsť aj ako $\psi=\chi^2$ (t.j. použitím Proposition 17.14, pričom ako oba charaktery vystupujúce v tomto tvrdení použijeme $\chi$).

Veľkosti centralizátorov vieme teraz nájsť ako
$$|C_G(g)|=\sum_{i=1}^6 |\chi_i(g)|^2$$
a dostaneme takto 12, 4, 4, 6, 6, 12.

To znamená, že veľkosti tried kojugácie sú 1, 3, 3, 2, 2, 1. (Môžeme skontrolovať, že $12=1+3+3+2+2+1$.)