Zovšeobecnený Laplaceov rozvoj

[Martin Sleziak]

Pretože niečo čo sa vyskytlo v riešení aké ste navrhli pre jeden z príkladov na cvičení sa vlastne podobá na odvodenie zovšeobecneného Laplaceovho rozvoja, tak napíšem niečo k tomuto. Nebudem sa ho snažiť úplne všeobecne dokázať - v LAG1 nájdete zovšeobecnený Laplaceov rozvoj ako vetu 6.2.7 a tesne po nej máte ako ukážku nejaký takýto rozvoj pre maticu $4\times4$ v príklade 6.2.8.

Spomeniem aj to, že riešenie toho príkladu kde sme na takéto niečo narazili sa dá urobiť pomocou riadkových úprav, nájdete ho napríklad tu: A $4\times4$ determinant with entries $\pm1$ is divisible by 8.

Ak sa pozeráme na determinant matice $4\times 4$
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
$$
tak sa v ňom vyskytnú všetky možné súčiny tvaru súčiny tvaru $a_{1,f(1)}a_{2,f(2)}a_{3,f(3)}a_{4,f(4)}$. (S príslušnými znamienkami.)

Prípad $j_1=1$, $j_2=2$

Pozrime sa na to, čo sa stane ak si zvolíme $f(1)$ a $f(2)$. Začnime možno s najjednoduchším prípadom $f(1)=1$ a $f(2)=2$.
Toto nám hovorí, že z prvého riadku sme vybrali prvý prvok, z druhého riadku prvok druhého stĺpca. V ostatných riadkoch už potom máme na výber iba tretí a štvrtý stĺpec.
Teda členy ktoré obsahujú $a_{11}a_{22}$ sú $a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$ a $-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}$. (Znamienka sme dostali jednoducho tak, že sme sa pozreli na to koľko máme inverzií.)

Dostali sme teda, že v determinante sa nám vyskytne súčet
\begin{align*}
a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}
&=a_{11}a_{22}(a_{33}a_{44}-a_{34}a_{43})\\
&=a_{11}a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}

Môžeme si všimnúť, že podobná situácia je aj s členmi obsahujúcimi $a_{12}a_{21}$. Tu opäť v treťom a štvrtom riadku musíme použiť tretí a štvrtý stĺpec. Keď sa ešte pozrieme na to aké nám tam vyjdú znamienka, tak dostaneme
\begin{align*}
-a_{12}a_{21}a_{33}a_{44}+a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}
&=-a_{12}a_{21}(a_{33}a_{44}-a_{34}a_{43})\\
&=-a_{12}a_{21}
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}

Keď sčítame uvedené výrazy, dostali sme
$$(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
$$
Vidíme, že štyri sčítance z definície determinantu sa nám podarilo prepísať ako súčin dvoch determinantov $2\times2$.

To isté sa ale stane aj pre iné voľby $f(1)$ a $f(2)$.
Ak si predpíšeme $f(1)=j_1$ a $f(2)=j_2$, tak nám zostávajú iba dve ďalšie čísla $j_3,j_4\in\{1,2,3,4\}\setminus\{j_1,j_2\}$.
Aby sme sa vyhli nejednoznačnostiam, tak predpokladajme že sme si obe dvojice zapísali vo vzostupnom poradí, t.j. $j_1<j_2$ a $j_3<j_4$. (Takto vidno, že máme $\binom42=6$ možností pre výber čísel $j_1,\dots,j_4$.)
Aj v tomto prípade sa budú dať príslušné členy zapísať ako súčin dvoch determinantov. Jediné čo sa zmení je, že tento súčin ešte bude vynásobený nejakým znamienkom v závislosti od voľby $j_1$ a $j_2$.

Ľubovoľné $j_1$ a $j_2$

Síce to je veľmi podobné na to, čo som napísal vyššie, ale môžeme sa skúsiť detailne pozrieť na to, ako to vyzerá pri $f(1)=j_1$ a $f(2)=j_2$.
Budem sa držať označenia ktoré som zaviedol vyššie, t.j. predpokladám že $j_1<j_2$, $j_3<j_4$ a $\{j_1,j_2,j_3,j_4\}=\{1,2,3,4\}$.

Chceme sa teda pozrieť na podobné permutácie, kde $f(1)$ a $f(2)$ sú $j_1$ alebo $j_2$; a na súčiny z definície determinantu zodpovedajúce týmto permutáciám.

Najprv sa pozrime na znamienko permutácie
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
j_1 & j_2 & j_3 & j_4 \\
\end{pmatrix}
$$
Inverzie sa tu môžu vyskytnúť iba v prípadoch, že v druhej polovici sa vyskytlo nejaké číslo menšie ako niektoré z čísel v prvej dvojici. (Pretože $j_1<j_2$ a $j_3<j_4$, tieto prvky inverziu netvoria.)
Prvkov menších ako $j_1$ je presne $j_1-1$, toľkoto dostanem inverzií s týmto prvkom.
Jeden z prvkov menších ako $j_2$ je $j_1$, ten je pred ním. Ale zostávajúcich $j_2-2$ prvkov je za ním a vytvoria inverzie.
Spolu teda mám $(j_1-1)+(j_2-2)=j_1+j_2-3$ inverzií. Táto permutácia sa teda vyskytne so znamienkom $(-1)^{j_1+j_2-3}$. V determinante sa vyskytuje ako jeden zo sčítancov $(-1)^{j_1+j_2-3}a_{1,j_1}a_{2,j_2}a_{3,j_3}a_{4,j_4}$.

Ešte chceme prísť na to, sa kým znamienkom budú ostatné permutácie, kde máme v prvých dvoch riadkoch prvky zo stĺpcov $j_1$ a $j_2$.
Členy $a_{1,j_1}a_{2,j_2}a_{3,j_4}a_{4,j_3}$ a $a_{1,j_2}a_{2,j_1}a_{3,j_3}a_{4,j_4}$ majú opačné znamienko ako $a_{1,j_1}a_{2,j_2}a_{3,j_3}a_{4,j_4}$. Dostali sme ich totiž tak, že sme vymenili v jednom prípade $j_3$ a $j_4$ a v druhom prípade $j_1$ a $j_2$. (Skúste si rozmyslieť že inverzia môže odbudnúť alebo pribudnúť iba pre prvky ktoré sme navzájom vymenili. Je to podobná úvaha ako sme robili na prednáške v dôkaze o výmene riadkov v determinante - tam to dokonca bolo o čosi všeobecnejšie, lebo prvky nemuseli byť susedné.)
$a_{1,j_2}a_{2,j_1}a_{3,j_4}a_{4,j_3}$ má rovnaké znamienko ako $a_{1,j_1}a_{2,j_2}a_{3,j_4}a_{4,j_3}$; v tomto prípade sme urobili dve výmeny.

Môžeme teraz zopakovať presne rovnaké úpravy ako sme urobili vyššie. Dostaneme tak výraz
$$(-1)^{j_1+j_2-3}\begin{vmatrix}
a_{1,j_1} & a_{2,j_2} \\
a_{2,j_1} & a_{2,j_2} \\
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
a_{3,j_3} & a_{3,j_4} \\
a_{4,j_3} & a_{4,j_4} \\
\end{vmatrix}.$$

Celý determinant môžeme teda prepísať ako súčet výrazov takéhoto tvaru, ktoré dostaneme pre všetky možné voľby $j_1$ a $j_2$.

Rozvoj podľa prvých dvoch riadkov

Môžeme teda ešte rozpísať čo dostaneme v našom prípade.
Napíšem sem uvedené súčiny determinantov aj so znamienkami v takom poradí, že za $(j_1,j_2)$ postupne volím $(1,2)$, $(1,3)$, $(1,4)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(3,4)$.

\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{33} & a_{34} \\
a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{21} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{34} \\
a_{42} & a_{44} \\
\end{vmatrix}\\
&+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{14} \\
a_{21} & a_{24} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{32} & a_{33} \\
a_{42} & a_{43} \\
\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{34} \\
a_{41} & a_{44} \\
\end{vmatrix}\\
&-\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{14} \\
a_{22} & a_{24} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{33} \\
a_{41} & a_{43} \\
\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}
a_{13} & a_{14} \\
a_{23} & a_{24} \\
\end{vmatrix}
\cdot
\begin{vmatrix}
a_{31} & a_{32} \\
a_{41} & a_{42} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}

Ako som spomenul, toto je len špeciálny prípad všeobecnejšieho tvrdenia. Takýto rozvoj sa dá robiť podľa ľubovoľných riadkov. Nemusíme nutne vyberať prvé dva, môžu byť iné, môže ich byť väčší počet.