vyrieseny priklad

[Jana Stolcova]

Posielam príklad, ktorý sme počítali minulý týždeň a nejako to nevyšlo:). Ešte raz sa ospravedlňujem, takže ak to niekoho zaujíma, tu je správne riešenie SPRÁVNEHO príkladu (nie som si istá, ale myslím, že sme stratili jedno znamienko pri prepise do matice a preto to vyšlo inak ako som tvrdila...)

Nájdi priamku $r$, ktorá pretína priamky $p$ a $q$ a je rovnobežná s $(1,3,-1,-1)$, pričom
\begin{equation*}
p\equiv
\begin{cases} x_1 = 1-t\\
x_2 = 1+t\\
x_3 = 1 \\
x_4 = -t
\end{cases}
\end{equation*},

\begin{equation*}
q\equiv
\begin{cases} x_1 = s\\
x_2 = s\\
x_3 = 1-s\\
x_4 =-1-s
\end{cases}
\end{equation*}

Riešenie: Ak má hľadaná priamka $r$ pretínať obe priamky, označme si priesečník s $p$ ako $X$ a priesečník s $r$ ako $Y$. Body $X$ a $Y$ tým pádom určujú priamku $r$ a zapíšeme ju ako $X+\vec{XY}$. Aby sme splnili podmienku rovnobežnosti s $(1,3,-1,-1)$, smerový vektor priamky teda vektor $\vec{XY}$ musí byť jeho násobkom. Vektor $\vec{XY}=(s-1+t, s-1-t, -s,-1-s+t)$ pre nejaké hodnoty $s$, $t$. Dostávame teda rovnicu $$(s-1+t, s-1-t, -s,-1-s+t)=k(1,3,-1,-1).$$

Rozpísané po zložkách a v maticu to vyzerá takto(1. stĺpec reprezentuje $s$, druhý $t$ a tretí $k$):

$\left(\begin{matrix}
1&1&-1&|1\\
1&-1&-3&|1\\
-1&0&1&|0\\
-1&1&1&|1
\end{matrix}\right)\approx\left(\begin{matrix}
1&1&-1&|1\\
0&-2&-2&|0\\
0&1&0&|1\\
0&2&0&|2
\end{matrix}\right)\approx\left(\begin{matrix}
1&1&-1&|1\\
0&1&0&|1\\
0&0&-2&|2\\
0&0&0&|0
\end{matrix}\right)$

Teda $k=-1$, $t=1$, $s=1+(-1)-1=-1$. Potom vektor $\vec{XY}=(-1, -3,1,1)$, bod $X=(0,2,1,-1)$ a hľadaná priamka $r$ má potom parametrické vyjadrenie
\begin{equation*}
r\equiv
\begin{cases} x_1 = -u\\
x_2 = 2-3u\\
x_3 = 1 +u\\
x_4 = -1+u
\end{cases}
\end{equation*}