DU6 - LS 2017/18

[Martin Sleziak]

Niečo k du č.6.

Opäť pridám linku na staršie komentáre k takejto úlohe: viewtopic.php?t=1063
Ale niečo napíšem aj sem.

Jeden z dôvodov prečo som úlohu sformuloval takto je, aby ste si uvedomili čo sa dá ukázať matematickou indukciou a čo nie. Matematickou indukciou dokážete, že niečo platí pre všetky prirodzené čísla. Ale jednoducho napísať, že potom dosadíme $n=\infty$ určite nie je správne - nekonečno nie je prirodzené číslo.

Spoiler:

Existujú typy indukcie, ktorými sa dá dokázať niečo aj pre nekonečné množiny. Transfinitná indukcia súvisí s teóriou množín - a možno keby sme mali 2 semestre tohoto predmetu, tak by sme sa k nej dostali; v čase ktorý máme k dispozícii sa takéto niečo stihnúť nedá.

Existuje aj niečo čomu sa hovorí indukcia na reálnej osi alebo indukcia v kontinuu, pomocou ktorej sa dajú dokazovať veci o reálnych číslach. Takejto indukcii je venovaná kapitola v knihe Šalát-Smítal: Teória množín.

Úloha sa dala riešiť asi najjednoduchšie tak, že ste ukázali túto vlastnosť pre ľubovoľnú množinu a potom ste z nej dostali riešenie prvej aj druhej časti úlohy.

Niektoré chyby z odovzdaných d.ú.

Toto som už raz spomínal, napíšem znovu.
Prepísať $x\in \bigcup\limits_{i\in I} A_i$ ako
$$x\in A_0 \lor x\in A_1 \lor \dots \lor x\in A_n$$
by bolo ok ak $I=\{0,1,\dots,n\}$ a niečo podobné sa dá spraviť pre ľubovoľnú konečnú množinu.
Ale ak množina $I$ je nekonečná, máte tu alternatívu nekonečne veľa výrokov. Také niečo je problematické zmysluplne definovať - a to čo tým myslíte je zrejme
$$(\exists i\in I) x\in A_i.$$
Podobne pre spojku $\land$ (konjunkciu) by tomu zodpovedal všeobecný kvantifikátor $\forall$.

[Martin Sleziak]

Sice píšem niečo veľmi podobné ako som už viackrát spomínal, ale predsa to asi radšej spomeniem.
Ak používam symbol $\in$ (patrí), tak za ním má nasledovať množina.
Takže takéto zápisy (ako sa vyskytli v niektorých odovzdaných d.ú.) nemajú zmysel:

$x\in (A_i\subseteq B_i)$
$x\in (\bigcup_{i=1}^\infty A_i\subseteq \bigcup_{i=1}^\infty B_i)$