Riešenie úlohy 5.2. Matica prechodu

[korbas4]

Úloha 5.2. Máme dané vektory $\vec\alpha_1=(1,0,1)$, $\vec\alpha_2=(1,1,1)$, $\vec\alpha_3=(0,1,-1)$ a $\vec\beta_1=(1,1,3)$, $\vec\beta_2=(-1,0,-3)$, $\vec\beta_3=(0,1,1)$. Skontrolujte, či $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ aj $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$ tvoria bázu v $\mathbb R^3$. Nájdite maticu prechodu od bázy $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_3$ k báze $\vec\beta_1,\dots,\vec\beta_3$. Nájdite aj maticu prechodu opačným smerom.

Najprv overíme, že dané vektory skutočne tvoria bázu v $\mathbb R^3$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Z toho vidno, že obe trojice vektorov skutočne tvoria bázy v $\mathbb R^3$.
Teraz ideme hľadať maticu prechodu od bázy $A$ k báze $B$ - tá je definovaná ako $B=PA$, čiže $P=BA^{-1}$. Najprv teda nájdeme štandardným postupom inverznú maticu k matici $A$:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Z toho teda máme, že $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Čiže matica prechodu z $A$ do $B$ je $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 \\ -5 & 4 & -4 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $

Matica prechodu z $B$ do $A$ bude matica inverzná k $P$, čiže $P^{-1}$, poďme ju nájsť:

$\begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 4 & -4 & | & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 \\ -5 & 4 & -4 & | & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 \\ -5 & 0 & 0 & | & -4 & 1 & 4 \\ -2 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & | & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \\ -2 & 1 & 0 & | & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \sim$ $\sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & | & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & | & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} & -\frac{7}{5} \\ 1 & 0 & 0 & | & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{7}{5} \end{pmatrix}$

Teda matica prechodu z $B$ do $A$ je $P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\ -\frac{2}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{7}{5} \end{pmatrix}$

Dá sa to overiť aj výpočtom:
$B = PA$

$A=P^{-1}B$

[Martin Sleziak]

Skoro ok (značím si 1 bod). Akurát ste na jednom mieste začali namiesto vektora $(-1,0,-3)$ rátať s vektorom $(-1,0,3)$. (Keby bol v zadaní ten druhý vektor tak to presne sedí.)

Dá sa to overiť aj výpočtom:
$B = PA$

$A=P^{-1}B$

Linky sú super vec. Jednu nevýhodu má ak celý popis linky je MathJax, že sa nedá po pravom kliku dať otvoriť v novom okne, ale ponúkne to menu MathJaxu.

[Martin Sleziak]

Skúsme sa pozrieť ešte na nejaké iné možnosti riešenia. Snáď pritom pripomeniem nejaké veci, ktoré sme si povedali na cviku a spomeniem pár drobností, ktoré som na cviku asi povedať mohol, ale vtedy mi neprišli na um.

Chceli sme vyrátať maticu $P=BA^{-1}$. Pokiaľ si napíšeme tieto matice vedľa seba takto: $(A|B)$ a budeme robiť stĺpcové úpravy dovtedy, kým naľavo nebude jednotková matica, tak sa dostaneme k matici $(I|BA^{-1})$, čiže vpravo máme hľadanú maticu. (Dôvod je ten, že robenie stĺpcových úprav je to isté ako násobenie maticami elementárnych riadkových operácií sprava).

Možno by sme si mohli uľahčiť život tým, že obe matice stransponujeme - potom s $(A^T|B^T)$ budeme robiť riadkové úpravy. (Na tie sme predsa len viac zvyknutí.) Na konci dostaneme maticu $P=BA^{-1}$, ale transponovanú.

Chceli by sme teda upravovať
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 &-1 &|& 3 &-3 & 1
\end{pmatrix}
$$



******

Iná možnosť ako by sme to mohli riešiť, by bola sústava rovníc. V prvom riadku matice prechodu máme koeficienty $x$, $y$, $z$ také, že $x\vec\alpha_1+y\vec\alpha_2+z\vec\alpha_3=\beta_1$. Takto dostaneme sústavu
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1\\
0 & 1 & 1 &|& 1\\
1 & 1 &-1 &|& 3
\end{pmatrix}
$$
Podobnú sústavu dostaneme pre vektory $\vec\beta_2$ a $\vec\beta_3$. Keďže matica sústavy je vo všetkých troch prípadoch rovnaká a líšia sa len pravé strany, môžeme tieto tri sústavy riešiť súčasne, a dostaneme teda:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 &-1 &|& 3 &-3 & 1
\end{pmatrix}
$$
Opäť vpravo dostaneme v stĺpcoch zapísaný prvý, druhý a tretí riadok matice prechodu, čiže matica $P$ bude vo výsledku transponované.

Takže si môžeme všimnúť, že obidva tieto postupy sú len dva rôzne pohľady na presne tú istú metódu.

********

$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 &-1 &|& 3 &-3 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 &-1 &|& 2 &-2 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &|& 3 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 &|&-2 & 2 &-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &|&-2 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 0 &|& 3 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 &|&-2 & 2 &-1
\end{pmatrix}
$

Keby sme namiesto vektory $\vec\beta_2=(-1,0,-3)$ rátali s $(-1,0,3)$, tak dostaneme
$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 &-1 &|& 3 & 3 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 &-1 &|& 2 & 4 & 1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &|& 1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &|& 3 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 1 &|&-2 &-4 &-1
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 &|&-2 &-5 &-2 \\
0 & 1 & 0 &|& 3 &-2 & 2 \\
0 & 0 & 1 &|&-2 & 2 &-1
\end{pmatrix}
$

[korbas4]

Prepáčte, chyba vznikla pri prepisovaní si zadania z jednej strany zošita na druhú. Tuto posielam opravenú verziu aj s opravenými linkami, len nie je mi celkom jasné, prečo mi vyšli rôzne výsledky, hoci po overení vo wolfram alpha by mali sedieť, ak tomu dobre chápem:


Najprv overíme, že dané vektory skutočne tvoria bázu v $\mathbb R^3$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Z toho vidno, že obe trojice vektorov skutočne tvoria bázy v $\mathbb R^3$.
Teraz ideme hľadať maticu prechodu od bázy $A$ k báze $B$ - tá je definovaná ako $B=PA$, čiže $P=BA^{-1}$. Najprv teda nájdeme štandardným postupom inverznú maticu k matici $A$:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Z toho teda máme, že $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Čiže matica prechodu z $A$ do $B$ je $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $

Matica prechodu z $B$ do $A$ bude matica inverzná k $P$, čiže $P^{-1}$, poďme ju nájsť:

$\begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & | & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 & | & 5 & 4 & -2 \\ -1 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim$ $\sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & | & 3 & 2 & -2 \\ -1 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 3 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Teda matica prechodu z $B$ do $A$ je $P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Dá sa to overiť aj výpočtom:
B = PA

A=P^{-1}B

[Martin Sleziak]

Prepáčte, chyba vznikla pri prepisovaní si zadania z jednej strany zošita na druhú. Tuto posielam opravenú verziu aj s opravenými linkami, len nie je mi celkom jasné, prečo mi vyšli rôzne výsledky, hoci po overení vo wolfram alpha by mali sedieť, ak tomu dobre chápem:

Neviem, či som niečo prehliadol, ale zdá sa, že až na transponovanie sú tie matice presne rovnaké:

Na konci dostaneme maticu $P=BA^{-1}$, ale transponovanú.
...
Opäť vpravo dostaneme v stĺpcoch zapísaný prvý, druhý a tretí riadok matice prechodu, čiže matica $P$ bude vo výsledku transponovaná.

[korbas4]

Jasné, už mi to došlo, vďaka.