Slubene prednaskove ulohy

[Jana Stolcova]

Ahojte,

posielam vyriešených tých pár prednáškových úloh z 3. a 4. sady, čo som vtedy sľúbila. Samozrejme, ak sú hocijaké otázky k tomu, pýtajte sa a niekedy na cvičeniach sa k tomu vrátime.

$\newcommand{\R}{\mathbb R}\newcommand{\Q}{\mathbb Q}\newcommand{\Z}{\mathbb Z}$
PÚ 3/3:

(a)Napíšte parametrické aj všeobecné vyjadrenie roviny $\cal{A}$ v $\R^4$ určenej bodmi $A_0 = (1;2; 1;0)$, $A_1 = (1;1;2;1)$, $A_2 = (0;1;1; 1)$.

Nájdime najskôr parametricke vyjadrenie. Na vyjadrenie roviny potrebujeme jeden pevný bod a kedže je to dvojrozmerný podpriestor, tak 2 vektory (vychádzajúce z toho bodu). Teda zoberme napríklad bod $A_0$ a vektory $\vec{A_0A_1}=(0;-1;1;1)$ a $\vec{A_0A_2}=(-1;-1;0;1)$.

Potom rovina $\mathcal{A}\equiv A_0+s\vec{A_0A_1}+t\vec{A_0A_2}$.
Parametricky:
\begin{equation*}
\mathcal{A}\equiv
\begin{cases} x_1 = 1-t\\
x_2 = 2-s-t\\
x_3 = 1 +s\\
x_4 = s+t
\end{cases}
\end{equation*}

Všeobecné vyjadrenie je systém rovníc, kde sú jediné premenné $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Uvedomme si, že očakávame 2 rovnice v systéme (4 - 2: 4, lebo sme v $\R^4$ a -2, lebo hľadáme vyjadrenie roviny). Chceme teda pretransformovať systém parametrického vyjadrenie tak, aby sme sa zbavili parametrov $s$ a $t$.

1.Vyjadrime z prvej rovnice $t$: $t=1-x_1$.
2.Vyjadrime $s$ z druhej rovnice: $s=2-t-x_2=2-1+x_1-x_2=1+x_1-x_2$.
3.zostávajú 3. a 4. rovnica, oba parametre už máme vyjadrené, stači dosadiť a tieto rovnice upraviť, aby vyzerali tak ako treba:
$x_3=1+1+x_1-x_2$

$x_4=1+x_1-x_2+1-x_1$

Potom

\begin{equation*}
\mathcal{A}\equiv
\begin{cases} x_1 -x_2-x_3=1\\
x_2+x_4=2
\end{cases}
\end{equation*}

(b) Analogicky: potebujeme ešte 1 vektor $\vec{A_0A_3}=(-1;-2;2;2)$. Parametrické vyjadrenie potom bude $\mathcal{B}\equiv A_0+s\vec{A_0A_1}+t\vec{A_0A_2}+u\vec{A_0A_3}$.

\begin{equation*}
\mathcal{B}\equiv
\begin{cases} x_1 = 1-t-u\\
x_2 = 2-s-t-2u\\
x_3 = 1 +s+2u\\
x_4 = s+t+2u
\end{cases}
\end{equation*}

A znovu vyjadrujme parametre, chceme dostať 1 rovnicu s neznámymi $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$.

Z prvej rovnice: $u=1-t-x_1$.

Z tretej: $s=x_3-1-2u=x_3-1-2( 1-t-x_1)=x_3 +2x_1+2t-3$.

Dosaďme do druhej: $x_2 = 2-(x_3 +2x_1+2t-3)-t-2(1-t-x_1)=-x_3-3t+3$, potom $t=\frac{3-x_3-x_2}{3}$. Pomocou toho vyjadrime aj $s$ a $u$, $s=x_3 +2x_1+2\frac{3-x_3-x_2}{3}-3$ a $u=1-\frac{3-x_3-x_2}{3}-x_1$.

Všetky parametre máme vyjadrené, už len dosadiť do 4. (zatiaľ nepoužitej) rovnice a upraviť:

$x_4 = x_3 +2x_1+2\frac{3-x_3-x_2}{3}-3+\frac{3-x_3-x_2}{3}+2(1-\frac{3-x_3-x_2}{3}-x_1)$

$3x_4=3x_3+6x_1+6-2x_3-2x_2-9+3-x_3-x_2+6-6+2x_3+2x_2-6x_1$

$x_2-2x_3+3x_4=0$
Čo je všeobecné vyjadrenie priestoru $\beta$.

Bod $B = (-1;1; -1; -3)$ nepatrí do $\mathcal{B}$, lebo nespĺňa všeobecnú rovnicu $1-2.(-1)+3.(-3)=-6\neq 0$.
Z konštrukcie je asi zrejmé, že podpriestor $\mathcal{A}$ je obsiahnutý v podpriestore $\mathcal{B}$ a preto $\mathcal{A}$ neobsahuje "nič navyše", teda nemôže tam patriť ani bod $B$.



PÚ 3/4:

Urč vzájomnú polohu
\begin{equation*}
\alpha \equiv
\begin{cases}
x_1 -4x_2 + x_3 = -2\\
2x_1 - 3x_2 -x_4 = -7\\
3x_1 - 5x_2 - x_5 =- 8
\end{cases}
\end{equation*}
a
\begin{equation*}
\beta \equiv
\begin{cases}x_1 = 1 + t_1 + t_2\\
x_2 = 2 + t_2\\
x_3 = 5 - t_1 + 3t_2\\
x_4 = 3 + 2t_1 - t_2\\
x_5 = 1 + 3t_1 - 2t_2; t_1; t_2 \in \R:
\end{cases}
\end{equation*}

Poďme testovať, či majú nejaký spoločný prienik, "dosaďme" parametrické vyjadrenie $\beta$ do všeobecného $\alpha$ a počítajme:
\begin{eqnarray*}
1 + t_1 + t_2 -4(2 + t_2) + 5 - t_1 + 3t_2 = -2\\
2( 1 + t_1 + t_2) - 3(2 + t_2) -(3 + 2t_1 - t_2) = -7\\
3( 1 + t_1 + t_2) - 5(2 + t_2) -(1 + 3t_1 - 2t_2) =- 8\\
\hline
-2=-2\\
-7=-7\\
-8=-8
\end{eqnarray*}

Dostali sme samé "pravdy", to znamená, že každý bod z $\beta$ (t.j. takéhoto tvaru ako nám hovorí parametrické vajadrenie) vyhouje systému rovníc $\alpha$ a teda je prvkom aj tohto porpiestoru. Keď si uvedomíme, že $\alpha$ je dimenzie 2 (sme v $\R^5$ a máme 3 LN rovnice) a rovnako $\beta$ (na parametrické určenie sme potrebovali 2 vektory), tak vidíme, že tie podpriestory sú totožné.

Poznámka: Mohli sme tiež jeden z tých priestorov prepísať tak aby boli oba vyjadrené všeobecne (resp. parametricky) a dostali by sme rovnaky (resp. ekvivalentný) systém.

PÚ 4/4:

V $\mathcal{A}$ majme priamku $a$, prechádzajúcu bodmi $2t^4 - 2t$ a $t^4+t^3- t$ a priamku
$b$, prechádzajúcu bodmi $2t^3 + 10t^2 + 5$ a $2t^3 - 2t^2 -1$. Dokážte, že $a$ a $b$ sa
pretínajú v jedinom bode a nájdite tento bod.

Na vyjadrenie priamky potrebujem bod a vektor z neho vychádzajúci. Vektor od jedného polynómu k druhému je definovaný ako ich rozdiel. Teda za smerový vektor priamky $a$ môžeme zobrať vektor $t^4+t^3- t-(2t^4 - 2t)=-t^4+t^3+t$ a priamky $b$ vektor $-12t^2-6$.
Teraz parametrické vyjadrenie:
$$a\equiv t^4 - 2t + s(-t^4+t^3+t); s \in \R$$
$$b\equiv 2t^3 + 10t^2 + 5 + u(-12t^2-6); u \in \R$$.

A hľadajme spoločný bod, priesečník musí byť pre nejaké $s$ tvaru $2t^4 - 2t + s(-t^4+t^3+t)$ a pre nejaké $u$ tvaru $2t^3 + 10t^2 + 5 + u(-12t^2-6)$. Chceme teda vyriešiť rovnicu $$2t^4 - 2t + s(-t^4+t^3+t)=2t^3 + 10t^2 + 5 + u(-12t^2-6),$$ pričom neznáme sú $s$ a $u$.
Štandardne, koeficienty pri mocninách rovnakého stupňa na ľavej a pravej strane sa musia rovnať, teda

$t^4: 2-s=0$ a potom $s=2$

$t^3: s=2$

$t^2: 10-12u=0$ a potom $u={5\over 6}$

$t: -2+s=0$

$t^0: 5-6u=0$, t.j. naozaj $u={5\over 6}$.

T.j. naozaj sme zistili, že je práve jedno riešenie tej rovnice, teda jeden spoločný bod a to polynóm $2t^4 - 2t + 2(-t^4+t^3+t)=2t^3$.