Injektívnosť a obraz prieniku, rozdielu

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\Obr}[2]{{#1}[{#2}]}\newcommand{\sm}{\setminus}$
Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte, že $f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné dve podmnožiny $A,B\subseteq X$ platí $\Obr f{B\sm A}=\Obr fB \sm \Obr fA$.

Označme si podmienku, s ktorou chceme pracovať ako $(*)$.
$$(\forall A,B\subseteq X) \Obr f{B\sm A}=\Obr fB \sm \Obr fA \tag{*}$$

Postupne dokážeme:

• Pre ľubovoľné zobrazenia platí $\Obr fB \sm \Obr fA \subseteq \Obr f{B\sm A}$.
• Ak $f$ je injektívne tak platí $\Obr f{B\setminus A}\subseteq \Obr fB \sm \Obr fA$
• Ak pre nejaké zobrazenie platí $(*)$, tak je injektívne.

Prvé dva body sú zdôvodnením, že pre injektívne $f$ skutočne platí $(*)$.
Posledná časť ukazuje platnosť obrátenej implikácie.

Pre ľubovoľné zobrazenie: Máme $\Zobr fXY$ a $A,B\subseteq X$.
Ak $y\in \Obr fB\sm \Obr fA$, vyplýva z toho, že existuje $x\in B$ také, že $f(x)=y$.
Pozrime sa na ľubovoľné také $x_0$.
Vieme ďalej, že $y\notin \Obr fA$, teda žiadny prvok z $A$ sa nezobrazí na $y$. Špeciálne z toho dostávame, že $x_0\notin A$.
O prvku $x_0$ teda vieme, že $x_0\in B\setminus A$ a $f(x_0)=y$. Tým sme ukázali, že $y\in\Obr f{B\sm A}$.

Keďže sme pre ľubovoľný prvok ukázali, že z $y\in\Obr fB \sm \Obr fA$ vyplýva $y\in\Obr f{B\sm A}$, zdôvodnili sme tým platnosť inklúzie
$$\Obr fB\sm \Obr fA \subseteq \Obr f{B\sm A}.$$

Pre injektívne zobrazenia: Máme injektívne zobrazenie $\Zobr fXY$ a $A,B\subseteq X$.
Ak $y\in\Obr f{B\sm A}$, tak existuje $x\in B\sm A$ také, že $f(x)=y$.
Pre každé takéto $x$ platí aj $x\in B$, takže je zrejmé že $y\in \Obr fB$.

Ak by existovalo nejaké $x'\in A$ také, že $f(x')=y$, tak by sme dostali $f(x)=f(x')$. Pritom $x\notin A$ a $x'\in A$, takže platí $x\ne x'$ a dostávame spor s injektívnosťou. Vidíme teda, že $y\notin \Obr fA$.

Spolu dostaneme, že $y\in \Obr fB\sm \Obr fA$.
Keďže sme ukázali, že pre ľubovoľné $y$ z $y\in\Obr f{B\sm A}$ vyplýva $\Obr fB \sm \Obr fA$, zdôvodnili sme tým (pre injektívne $f$) inklúziu
$$\Obr f{B\sm A} \subseteq \Obr fB \sm \Obr fA.$$

Z $(*)$ vyplýva injektívnosť.
Nech $\Zobr fXY$ nie je injektívne. To znamená, že existujú $x_{1,2}\in X$ také, že $x_1\ne x_2$ a $f(x_1)=f(x_2)=y$.
Položme $B=\{x_1,x_2\}$ a $A=\{x_1\}$.
Dostávame potom $\Obr fB=\Obr fA=\{y\}$, a teda $\Obr fB\sm\Obr fA=\emptyset$.
Súčasne máme $\Obr f{B\sm A}=\Obr f{\{x_2\}}=\{y\}$.
Vidíme, že $\Obr f{B\sm A} \ne \Obr fB \sm \Obr fA$.
Ukázali sme, že ak $f$ nie je injektívne, tak nespĺňa $(*)$. (To je presne obmena implikácie, ktorú sme chceli dokázať.)

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\Obr}[2]{{#1}[{#2}]}\newcommand{\sm}{\setminus}$
Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte, že $f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné dve
podmnožiny $A,B\subseteq X$ platí $\Obr f{A\cap B}=\Obr fA \cap \Obr fB$.

Fakt, že uvedená rovnosť platí pre injektívne zobrazenia je na fóre ukázaná v inom poste: viewtopic.php?t=94

Pozrime sa už len na to, že z tejto rovnosti naozaj vyplýva injektívnosť.
Ak by $f$ nebolo injektívne, tak existujú $x_{1,2}\in X$ také, že $f(x_1)=f(x_2)=y$.
Potom pre množiny $A=\{x_1\}$, $B=\{x_2\}$ máme $\Obr fA=\Obr fB=\{y\}$. Dostaneme teda $\Obr fA\cap\Obr fB=\{y\}$.
Súčasne platí $\Obr f{A\cap B}=\Obr f{\emptyset}=\emptyset$. Dostali sme spor s predpokladom, že zadaná rovnosť platí pre ľubovoľné dve podmnožiny definičného oboru.

Ak sa chcete pozrieť na riešenie týchto úloh aj inde, pridám ešte linku: Conditions Equivalent to Injectivity.