Výpočty s kardinálmi

[Martin Sleziak]

Dokážte, že $2^{\mathfrak c}\cdot2^{\aleph_0}=\mathfrak c \cdot \mathfrak c^{\mathfrak c}$.

Vlastne stačilo, ak ste ukázali, že $\mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$. Potom si už zostávalo uvedomiť že vpravo aj vľavo máme ten istý súčin $\mathfrak c \cdot 2^{\mathfrak c}$ (len sú činitele napísané v inom poradí.)

Samozrejme ak ste okrem toho ešte aj dopočítali, že $\mathfrak c\cdot 2^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$ (a teda obe strany sa rovnajú tomuto kardinálnemu číslu), tak to je tiež správne riešenie.

Ako pri iných úlohách tohoto typu, dá sa to robiť veľa spôsobmi. Napíšem sem niektoré. (Z nich niektoré som zobral z odovzdaných písomiek.)

Zdôvodnenie, že $\mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.

Riešenie 1. Nerovnosť $2^{\mathfrak c}\le \mathfrak c^{\mathfrak c}$ je jasná (Máme $2\le\mathfrak c$ a obe strany sú umocnené na ten istý exponent.)
Takže sa vlastne stačí zaoberať opačnou nerovnosťou. Platí
$$\mathfrak c^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c\cdot\mathfrak c}=2^{\mathfrak c},$$
pričom v poslednej nerovnosti sme využili, že $\mathfrak c\cdot \mathfrak c = 2^{\aleph_0} \cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$.
Iné zdôvodnenie tej istej rovnosti: $\mathfrak c\cdot \mathfrak c = \mathfrak c^2 = (2^{\aleph_0})^2= 2^{2\aleph_0} = 2^{\aleph_0}= \mathfrak c$.

Riešenie 2. Máme
$$\mathfrak c^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\aleph_0 \cdot \mathfrak c} \overset{(*)}= 2^{\mathfrak c}.$$
Aby sme zdôvodnili poslednú rovnosť $(*)$, stačí nám ukázať že $\aleph_0\cdot\mathfrak c=\mathfrak c$. To dostaneme zo série nerovností
$$\mathfrak c \le \aleph_0\cdot\mathfrak c \le \mathfrak c\cdot\mathfrak c = \mathfrak c$$
pričom poslednú rovnosť $\mathfrak c\cdot\mathfrak c = \mathfrak c$ vieme zdôvodniť tak ako v riešení 1.


Zdôvodnenie, že $\mathfrak c\cdot 2^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.

(Aj keď som vyššie spomenul, že toto už vlastne nebolo treba.)

$$2^{\mathfrak c} \le \mathfrak c \cdot 2^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c} \cdot 2^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c+\mathfrak c} \overset{(\diamond)}= 2^{\mathfrak c}.$$
Na zdôvodnenie rovnosti $(\diamond)$ už stačí ukázať $\mathfrak c+\mathfrak c=\mathfrak c$, čo sa dá veľa spôsobmi.
Napríklad $\mathfrak c+\mathfrak c=2\mathfrak c = 2\cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+1} = 2^{\aleph_0}$.
Alebo môžeme použiť odhad $\mathfrak c\le \mathfrak c+\mathfrak c=2\mathfrak c \le \mathfrak c\cdot\mathfrak c= \mathfrak c$. (Pričom v poslednom kroku sme využili rovnosť ktorú sme už ukázali v predošlej časti.)

[Martin Sleziak]

Druhé kolo - príklady z druhej písomky.

Začnime tým, že dokážeme pár vecí, ktoré sa nám možno budú hodiť:

$$\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c\tag{1}$$

Máme $\mathfrak c^{\aleph_0} = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\cdot\aleph_0} = 2^{\aleph_0}= \mathfrak c$.

$$\aleph_0^{\aleph_0} = \mathfrak c \tag{2}$$

Môžeme využiť $(1)$ a nerovnosti: $\mathfrak c=2^{\aleph_0} \le \aleph_0^{\aleph_0} \le \mathfrak c^{\aleph_0} \overset{(1)}= \mathfrak c$.

Alebo takto: $2^{\aleph_0} \le \aleph_0^{\aleph_0} \le 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}$.

$$\mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}\tag{3}$$

Máme $$2^{\mathfrak c} \le \mathfrak c^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c\cdot \mathfrak c}\overset{(*)}= 2^{\mathfrak c}$$ pričom rovnosť $(*)$ zdôvodníme ako
$\mathfrak c\cdot \mathfrak c = 2^{\aleph_0}\cdot2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$.

$$(\aleph_0)^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}\tag{4}$$
Môžeme využiť $(3)$ a nerovnosti: $2^{\mathfrak c} \le (\aleph_0)^{\mathfrak c} \le \mathfrak c^{\mathfrak c} \overset{(3)}=2^{\mathfrak c}$.

Alebo bez použitia $(3)$: $2^{\mathfrak c} \le (\aleph_0)^{\mathfrak c} \le 2^{\aleph_0\cdot\mathfrak c} \overset{(**)} = 2^{\mathfrak c}$.
Treba ešte na zdôvodnenie rovnosti $(**)$ ukázať, že $\aleph_0\cdot\mathfrak c=\mathfrak c$, čo môžeme urobiť napríklad ako $\mathfrak c\le\aleph_0\cdot\mathfrak c\le \mathfrak c\cdot\mathfrak c = \mathfrak c$. (Poslednú rovnosť $\mathfrak c\cdot\mathfrak c = \mathfrak c$ sme už ukázali pri odvodzovaní $(1)$, konkrétne v rovnosti $(*)$.)

Keď sme si nachystali tieto rovnosti, tak už všetky časti zadaných úloh pôjdu ľahko.

Ukážte, že $\aleph_0^{(\aleph_0^{\aleph_0})}\cdot \mathfrak c = \mathfrak c^{\aleph_0}\cdot\mathfrak c^{\mathfrak c}$.

Z $(2)$ máme $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak c$, čiže prvý kardinál na ĽS je $(\aleph_0)^{\mathfrak c}\overset{(4)}=2^\mathfrak c$. Na ĽS teda máme vlastne súčin $\mathfrak c\cdot 2^{\mathfrak c}$.

Ten istý súčin dostaneme aj na pravej strane (len v opačnom poradí), stačí si všimnúť, že z $(1)$ máme $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$ a z $(3)$ máme $\mathfrak c^{\mathfrak c}= 2^{\mathfrak c}$.

Ukážte, že $\mathfrak c^{(\aleph_0^{\aleph_0})}\cdot \mathfrak c = \mathfrak c^{\aleph_0}\cdot(\aleph_0)^{\mathfrak c}$.

Opäť z $(2)$ máme $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak c$, a teda na ľavej strane má prvý činiteľ hodnotu $\mathfrak c^{\mathfrak c}\overset{(3)}=2^\mathfrak c$. Teda ĽS je súčin $2^{\mathfrak c} \cdot \mathfrak c$.

Aj na pravej strane dostaneme súčin tých istých dvoch čísel. Podľa $(1)$ je $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$. Podľa $(4)$ je $(\aleph_0)^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.

[Martin Sleziak]

Chyby ktoré sa vyskytovali

$a^{(b^c)}$ a $(a^b)^c$ nie je (vo všeobecnosti) to isté.
Pripomeniem, že keď to napíšem bez zátvoriek, tak sa myslí $a^{b^c} = a^{(b^c)}$. (Ale v zadaní som sa snažil dať zátvorky všade, kde by mohla vzniknúť nejasnosť.)
V niektorých písomkách sa objavili veci ako $\aleph_0^{(\aleph_0^{\aleph_0})}=(\aleph_0^{\aleph_0})^{\aleph_0}$ alebo $\mathfrak c^{{\aleph_0}^{\aleph_0}}=\mathfrak c^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}$. (Neviem, či to bolo len nepozornosťou alebo sú v tomto naozaj nejasnosti. Prinajmenšom ak počítate s konečnými číslami, tak by vám mal byť rozdiel medzi týmito výrazmi jasný - takže nie je moc prekvapivé že tam je rozdiel aj pre nekonečné kardinály.)

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}$
Dokážte $\mfr c\cdot2^{\mfr c}\cdot{\mfr c}^{\alnul}=2^{\mfr c}\cdot 2^{\alnul}$.

$$\mfr c\cdot2^{\mfr c}=2^{\alnul}\cdot 2^{\mfr c}=2^{\alnul+\mfr c}=2^{\mfr c}\tag{1}$$ (Využili sme, že z $\mfr c\ge\alnul$ vyplýva $\mfr c+\alnul=\mfr c$).
Pomocou $(1)$ už vidíme, že pravá strana sa rovná $2^{\mfr c}$. Na úpravu ľavej strany sa nám hodí ešte si všimnúť, že:
$${\mfr c}^{\alnul}=(2^{\alnul})^{\alnul}=2^{\alnul\cdot\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c\tag{2}$$
Potom už môžeme upraviť ľavú stranu ako
$$\mfr c\cdot2^{\mfr c}\cdot{\mfr c}^{\alnul}\overset{(1)}= 2^{\mfr c}\cdot{\mfr c}^{\alnul}\overset{(2)}= 2^{\mfr c}\cdot\mfr c\overset{(1)}=2^{\mfr c}$$

Môžeme to rátať aj bez toho aby sme doupravovali obe strany na tvar $2^{\mfr c}$. Na pravej strane očividne máme $\mfr c\cdot 2^{\mfr c}$. Teda stačí ukázať, že ľavá strana sa tiež rovná tomuto súčinu.
Na to stačí ukázať, že $\mfr c\cdot {\mfr c}^{\alnul}=\mfr c$.
$\mfr c^{\alnul}=\mfr c$ sme ukázali v $(2)$, zostáva nám už len všimnúť si, že $\mfr c\cdot \mfr c=2^{\alnul}\cdot2^{\alnul}=2^{\alnul+\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$.

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\mfr}[1]{\mathfrak{#1}}\newcommand{\alnul}{\aleph_0}$
Dokážte $2^{\mfr c}\cdot\mfr c = \mfr c^{\alnul} \cdot (\alnul)^{\mfr c}$.

Stačí nám ukázať, že $\mfr c=\mfr c^{\alnul}$ a $2^{\mfr c}=(\alnul)^{\mfr c}$.
Prvú rovnosť dostaneme z $c^{\alnul}=(2^{\alnul})^{\alnul}=2^{\alnul\cdot\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$.
Súčasne máme
$$2^{\mfr c}\le (\alnul)^{\mfr c} \le \mfr c^{\mfr c}\le 2^{\mfr c\cdot\mfr c}\overset{(*)}=2^{\mfr c},$$
pričom v rovnosti označenej $(*)$ sme použili $\mfr c\cdot\mfr c=2^{\alnul}\cdot2^{\alnul}=2^{\alnul+\alnul}=2^{\alnul}=\mfr c$.

Už sme ukázali, že ľavá strana sa rovná pravej. Ak by sme navyše chceli zdôvodniť aj to, že obe strany sa rovnajú $2^{\mfr c}$, tak môžeme použiť napríklad
$$2^{\mfr c} \le \mfr c\cdot 2^{\mfr c}\le 2^{\mfr c}\cdot 2^{\mfr c} = 2^{\mfr c+\mfr c}\overset{(\diamond)}=2^{\mfr c},$$
pričom rovnosť $(\diamond)$ vyplýva z $\mfr c+\mfr c = 2^{\alnul}+2^{\alnul}=2\cdot 2^{\alnul} = 2^{\alnul+1} = 2^{\alnul} = \mfr c$.
Alebo tiež môžeme použiť $$2^{\mfr c}\cdot \mfr c=2^{\mfr c}\cdot 2^{\alnul}=2^{\mfr c+\alnul} \overset{(\spadesuit)}= 2^{\mfr c},$$ pričom rovnosť $\mfr c+ \alnul=\mfr c$ použitá v $(\spadesuit)$ vyplýva z toho, že pre $a\ge\alnul$ máme $a+\alnul=a$.