Exercise 17.8 a 18.5

[Martin Sleziak]

Exercise 17.8. Let $n$ be an odd positive integer. The group$\newcommand{\ve}{\varepsilon}\newcommand{\Ra}{\Rightarrow}\newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
$$V_{8n}=\langle a ,b; a^{2n}=b^4=1, ba=\inv a\inv b, \inv ba=\inv ab\rangle$$
has order $8n$.
(a) Show that if $\ve$ is any $n$th root of unity in $\mathbb C$, then there is a representation of $V_{8n}$ over $\mathbb C$ which sends
$$a\mapsto \begin{pmatrix}\ve&0\\0&-\inv\ve\end{pmatrix}, b\mapsto\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.$$
(b) Find all irreducible representations of $V_{8n}$

Opäť sa dá vidieť, že všetky prvky $V_{8n}$ sa dajú vyjadriť ako $a^ib^j$ pre $i\in\{0,1,\dots,2n-1\}$, $j\in\{0,1,2,3\}$.

Máme $B^2=-I$, $B^3=-B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, $B^4=I$. Takisto $A^{2n}=I$. (Z rovnosti $B^2=-I$ vidno, že $\inv B=-B=B^3$.)
$BA=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ve&0\\0&-\inv\ve\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\inv\ve\\-\ve&0\end{pmatrix}$
$\inv A\inv B=\begin{pmatrix}\inv\ve&0\\0&-\ve\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\inv\ve\\-\ve&0\end{pmatrix}$
$\inv BA=-BA=-\inv A\inv B=\inv AB$

Matica $A$ má na diagonále rovnaké prvky iba pre
$\ve=-\inv\ve$ $\Lra$ $\ve^2=-1$ $\Lra$ $\ve=\pm i$
Toto ale nemôže nastať pre nepárne $n$, dostali sme teda $n$ ireducibilných dvojrozmerných reprezentácií.

Súčasne hodnota $\chi(a)=\ve-\inv\ve=\ve-\overline\ve$ je pre každú z nich iná, teda sú neizomorfné. Tiež si môžeme všinúť, že pre tieto charaktery je $\chi(b^2)=-2$.

Ďalšie reprezentácie vieme dostať, ak zvolíme
$$a\mapsto \begin{pmatrix}\ve&0\\0&\inv\ve\end{pmatrix}, b\mapsto\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},$$
ale teraz je $\ve$ niektorá $2n$-tá odmocnina z 1.
Teraz máme $B^2=I$ a $\inv B=B$,
$BA=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ve&0\\0&\inv\ve\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\inv\ve\\\ve&0\end{pmatrix}$
$\inv A\inv B=\begin{pmatrix}\inv\ve&0\\0&\ve\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&\inv\ve\\\ve&0\end{pmatrix}$
$\inv BA=BA=\inv A\inv B=\inv AB$
Pre takéto reprezentácie máme $\chi(b^2)=2$, teda sú neizomorfné s tými, ktoré sme mali zadané. Pre prvých $n$ z nich sú hodnoty $\chi(a)=\ve+\inv\ve$ rôzne, takže máme $n$ z nich neizomorfných.

Budú aj ireducibilné s výnimkou prípadu $\ve=\inv\ve$, t.j. $\ve=\pm1$.

Takto teda vieme zostrojiť ďalších $n-1$ ireducibilných dvojrozmerných reprezentácie.

Všetky možné voľby $a\mapsto\pm1$, $b\mapsto\pm1$ nám dajú 4 jednorozmerné reprezentácie.

Pretože $(2n-1)\times2^2+4\times1^2=8n$, našli sme už všetky ireducibilné reprezentácie.

[Martin Sleziak]

Tabuľka charakterov (Exercise 18.5)

Keď poznáme všetky ireducibilné reprezentácie, tak vieme aj ako vyzerajú ireducibilné charaktery. Označme si $\omega=e^{2\pi i/2n}$, t.j. $\omega$ je primitívna $2n$-tá odmocnina z $1$. Máme teda tieto charaktery:
$$
\begin{array}{cccccc}
& a^k & a^kb & a^kb^2 & a^kb^3 &\\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1 & \\
\chi_3 & (-1)^k & (-1)^k & (-1)^k & (-1)^k & \\
\chi_4 & (-1)^k & (-1)^{k+1} & (-1)^k & (-1)^{k+1} &\\
\psi_j & \omega^{2jk}+(-1)^k\omega^{-2jk} & 0 & -\omega^{2jk}-(-1)^k\omega^{-2jk} & 0 & j=0,\dots,n-1\\
\tau_j & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & j=1,\dots,n-1
\end{array}
$$
Mali by sme dostať $2n+3$ tried konjugácie, ktoré by sa mali z predošlej tabuľky dať vyčítať tak, že sa pozrieme, pre ktoré prvky nadobúdajú všetky charaktery rovnaké hodnoty.

Porovnaním druhého a štvrtého stĺpca vidíme, že tieto charaktery sa zhodujú v závislosti od parity $k$. Ktorýkoľvek z charakterov $\psi_j$, $ňtau_j$ ich odlíši od prvkov z prvých dvoch stĺpcov. Teda máme dve triedy konjugácie:
$\{a^kb,a^kb^3; k\text{ je párne}\}$, $\{a^kb,a^kb^3; k\text{ je nepárne}\}$

Ešte nám zostáva preskúmať prvé dva stĺpce, t.j. prvky $a^k$ a $a^kb^2$. Môžeme sa zaoberať zvlášť prípadom, keď $k$ je párne a keď $k$ je nepárne; pretože charakter $\chi_3$ odlíši prvky s~rôznou paritou exponentu; teda takéto prvky nemôžu byť konjugované.

a) $k$ je párne:
$$
\begin{array}{cccccc}
& a^k & a^kb & a^kb^2 & a^kb^3 &\\\hline
\psi_j & \omega^{2jk}+\omega^{-2jk} & 0 & -\omega^{2jk}-\omega^{-2jk} & 0 & j=0,\dots,n-1\\
\tau_j & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & j=1,\dots,n-1
\end{array}
$$
Máme $\tau_j(a^k)=\omega^{jk}+\omega^{-jk}=\tau_j(a^{2n-k})=\tau_j(a^kb^2)=\tau_j(a^{2n-k}b^2)$ a toto sú jediné prípady, kedy sa zhodujú hodnoty charakteru $\tau_j$. Charaktery $\psi_j$ nám takéto štvorice ešte rozdelia na dvojice, ktoré sa už zhodujú pre všetky charaktery.
Dostali sme ďalších $n+1$ tried konjugácie ($2n$ prvkov s párnymi exponentmi sme rozdelili do dvojíc; výnimkou je $1=a^0=a^{2n-0}$ a $a^0b^2=a^{2n-0}b^2$).
$\{a^k,a^{2n-k}\}$, $\{a^kb^2,a^{2n-k}b^2\}$ (pre $k=0$ sú tieto triedy jednoprvkové: $\{1\}$, $\{b^2\}$)

b) $k$ je nepárne:
$$
\begin{array}{cccccc}
& a^k & a^kb & a^kb^2 & a^kb^3 &\\\hline
\psi_j & \omega^{2jk}-\omega^{-2jk} & 0 & -\omega^{2jk}+\omega^{-2jk} & 0 & j=0,\dots,n-1\\
\tau_j & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & \omega^{jk}+\omega^{-jk} & 0 & j=1,\dots,n-1
\end{array}
$$
Charakter $\tau_j$ sa opäť zhoduje iba pre $a^{k}$, $a^{2n-k}$, $a^kb^2$ a $a^{2n-k}b^2$. Pre tieto hodnoty sa zhoduje aj $\psi_j$.
Ešte sa potrebujeme pozrieť na to, pre ktoré prvky z tejto štvorice sú hodnoty $\psi_j$ rovnaké. Pretože $\omega^{-2jk}-\omega^{2jk}=-(\omega^{2jk}-\omega^{-2jk})$, vidíme, že $\psi_j(a^{2n-k}b^2)=\psi_j(a^{k})$. Súčasne $\psi_j(a^{k})\ne\psi_j(a^kb^2)$.
Dostávame triedy
$\{a^k,a^{2n-k}b^2\}$
ktorých je $n$.

Keď to zosumarizujeme, dostaneme reprezentantov $1$, $b$, $a$, $ab$, $a^{2r+1}$, $a^{2s}$, $a^{2s}b^2$. Čiže predošlú tabuľku môžeme prepísať na tabuľku, kde už sú len jednotlivé triedy konjugácie, dostanem to, čo je uvedené vzadu.