Prednášky ZS 2019/20

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (23.9.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie).

Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať. Dúfam, že sa k tomu dostaneme aj na cvičení.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (30.9.)
Binárne operácie. Jednoznačnosť inverzného prvku
Grupy. Definícia grupy. Dokázali sme zákony o krátení a tiež $(a*b)^{-1}=(b^{-1}*a^{-1})$. (Dôkaz, že $(a^{-1})^{-1}=a$ som preskočil.)
Pozreli sme sa ešte na to, že pre asociatívnu binárnu operáciu dáva ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov ten istý výsledok.

Polia. Definícia poľa. Príklady polí a niektoré jednoduché vlastnosti. (Z tvrdenia 3.3.4, kde sú vymenované základné vlastnosti poľa, som urobil len časti (i) a (iv), ostatné zostali na rozmyslenie. Takisto som nechal na rozmyslenie to, že obe definície poľa, ktoré sme uviedli, sú ekvivalentné - ak už máme dokázané tvrdenie 3.3.4, tak by to malo byť vcelku ľahké.)
Ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole. Z tejto vety som stihol ukázať zatiaľ iba to, že ak $n$ je prvočíslo, tak sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\cdot b=a\cdot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)
Dôkaz tejto vety urobíme nabudúce.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (7.10.)
Polia. Dokončili sme dôkaz, že $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole pre každé prvočíslo $n$. A chvíľu sme sa rozprávali o počítaní v takomto poli, najmä o hľadaní inverzného prvku.
Spomenul som aj to, že tento dôkaz nám nedáva veľmi efektívny spôsob ako hľadať inverzný prvok v takomto poli. V letnom semestri sa dozviete niečo o rozšírenom Euklidovom algoritme, ktorý sa dá použiť na rýchlejší výpočet. Nejaké odkazy sú aj tu: viewtopic.php?t=298
Nehovoril som o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13).
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.) Nejaké jednoduché vlastnosti (veta 4.1.6) som iba vymenoval, dokázal som na prednáške iba dve. Dôkazy ostatných si môžete rozmyslieť - mali by byť veľmi podobné ako keď sme dokazovali podobné veci týkajúce sa násobenia nulou v poli.
Nestihol som prejsť vektorový priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$. (Príklad 4.1.4 v poznámkach.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška (14.10.)
Vektorové priestory. $\mathbb R^{\mathbb R}$ ako príklad vektorového priestoru. (Podobné zdôvodnenie prejde pre $F^M$, kde $M\ne\emptyset$ je ľubovoľná množina a $F$ je ľubovoľné pole.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Ak je tento dôkaz nejasný, oplatí sa pozrieť si jednoduchší prípad, keď máme iba dva podpriestory.) Stručne som povedal niečo k tomu, že podpriestor je opäť vektorovým priestorom.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (21.10.)
Lineárny obal. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady. Lineárna závislosť pre jeden vektor. (Môžete sa zamyslieť nad tým, čo sa stane pre dva vektory.) Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich. Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz. (Nabudúce sa vrátim k tomu, aby som ju vysvetlil na konkrétnom príklade).

******************

Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov z kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (28.10.)
Steinitzova veta. Pozreli sme sa ešte na Steinitzovu vetu na konkrétnom príklade.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru. Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$. (Toto som nedokazoval - nechal som na rozmyslenie.)

*****

V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.4.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.

Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?f=6&t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)

Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22.) Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.

Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška: (4.11.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.

Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici. Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé. Pozreli sme sa na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare.

Naschvál som nehovoril o súčte matíc, skalárnom násobku matice a o vektorovom priestor $M_{m,n}(F)$. K týmto veciam sa plánujem vrátiť, keď dokončím veci o riadkovej ekvivalencii. Nechcel som ale, aby to dnes dopadlo tak, že zostanem uprostred dlhšieho dôkazu. Preto som sa venoval radšej tým ďalším témam. (Chcel som hlavne stihnúť - pomerne dlhý - dôkaz toho, že pre každú maticu existuje RTM, ktorá je s ňou riadkovo ekvivalentná.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška: (11.11.)
Riadková ekvivalencia. Definícia hodnosti matice.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$. Z toho sme ako dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu matíc.

Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.)
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budete hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)

Lineárne zobrazenia. Definícia, príklady, ekvivalentné podmienky. Zloženie lineárnych zobrazení je lineárne zobrazenie.
(Nestihol som ukázať, že lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov; k tomu sa vrátim nabudúce.)
Spomeniem aj to, že keby sme chceli predpis pre rotáciu o ľubovoľný uhol (nie iba $\frac\pi2$), tak ho vieme nájsť napríklad pomocou komplexných čísel - ako sme si kedysi ukázali. A tiež že tento predpis budeme vedieť nájsť vcelku ľahko, keď sa naučíme nejaké základné veci o lineárnych zobrazeniach - viď. aj príklad 5.4.5 v poznámkach.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (18.11.):
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor (dimenzie $mn$). Definícia jednotkovej matice $I_n$.
Lineárne zobrazenia. Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi bázových vektorov. (Základná veta o lineárnych zobrazeniach.)
Matica lineárneho zobrazenia. (V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení. Asociatívnosť a ďalšie vlastnosti (distributívnosť, násobenie jednotkovou maticou).

Nestihol som urobiť príklad týkajúci sa zloženia dvoch rotácií. (V texte na webe je to príklad 5.4.5.) V tomto príklade dostaneme súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sme videli už predtým pri komplexných číslach.
Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571