Riešenie úlohy 5.1 - Relácia ekvivalencie

[machac]

Úloha 5.1. Ukážte, že relácia $\sim$ na množine matíc $M_{n,n}(F)$ určená tak, že
$$A\sim B \Leftrightarrow \text{ existuje regulárna matica $P$ taká, že }B=PAP^{-1}$$
je reĺácia ekvivalencie. (Stručne: Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie.)

Na to, aby mohla byť nejaká relácia reláciou ekvivalencie, musí byť symetrická, reflexívna a tranzitívna. Poďme ich teda overiť:

• Symetrickosť: $\forall A,B: A \sim B \Leftrightarrow B \sim A.$ Tak nech $A \sim B \Rightarrow \exists P: B = PAP^{-1}$, rovnosť vynásobíme $P^{-1}$ zľava a $P$ sprava $\Rightarrow P^{-1}BP = A \Rightarrow B \sim A$, lebo existuje regulárna matica $P_2 = P^{-1}$ taká, že $A = P_2BP_2^{-1}$. Opačný smer je úplne analogický
• Reflexívnosť:$\forall A: A \sim A$: Potrebujeme teda zistiť, či existuje regulárna matica $P$ taká, že: $A = PAP^{-1}$. Tak nech $P = I$, potom $A = IAI^{-1} = A \Rightarrow A \sim A$
• Tranzitívnosť:$\forall A,B,C: A \sim B \land B \sim C \Rightarrow A \sim C$. Tak nech $A \sim B \land B \sim C$, potom $\exists P_1, P_2: B = P_1AP_1^{-1} \land C = P_2BP_2^{-1}$. Poďme teda hľadať maticu $P_3$ takú, že $C = P_3AP_3^{-1}$. Pozrime sa na rovnosť $C = P_2BP_2^{-1}$. Po vyjadrení $B$ dostávame: $B = P_2^{-1}CP_2$, lenže platí aj $B = P_1AP_1^{-1}$, takže $P_2^{-1}CP_2 = P_1AP_1^{-1} \Rightarrow$ po vyjadrení $C$ dostávame: $C = P_2P_1AP_1^{-1}P_2^{-1}$. Definujme teda maticu $P_3 = P_2P_1$. Ľahko nahliadneme, že $C = P_3AP_3^{-1} \Rightarrow A \sim C$.

Relácia $\sim$ teda spĺňa všetky 3 potrebné vlastnosti, takže je reláciou ekvivalencie.

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.

Pre istotu pripomeniem, že v poslednej časti sme využili túto rovnosť: $(P_1P_2)^{-1}=P_2^{-1}P_1^{-1}$.