Sucet radu $\sum (1/n^2)$

[Martin Sleziak]

V dôkaze, že prevrateny rad prvocisel diverguje sme použili rad $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$.

V tomto dôkaze sme potrebovali iba fakt, že tento rad konverguje, čo sa ľahko overí napríklad pomocou integrálneho kritéria alebo porovnaním s radom $\sum \frac1{n(n+1)}$ (ktorý sa dá ľahko prepísať na teleskopickú sumu). Spomenuli sme však aj to, že presná hodnota súčtu je $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$. Ak stihneme, tak si na prednáške ukážeme aspoň jeden dôkaz tohto faktu. Viacero ďalších dôkazov však môžete nájsť napríklad

• na Wikipedii - Basel problem
• na MSE - Different methods to compute $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ (Odkedy som sem túto linku dal, názov sa zmenil na "The Basel problem".)

[Martin Sleziak]

Nejaké články, ktoré sa zaoberajú dôkazmi tejto rovnosti:

• Yoshio Matsuoka: An Elementary Proof of the Formula $\sum^\infty_{k = 1} 1/k^2 = \pi^2/6$; The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 5 (May, 1961), pp. 485-487. http://www.jstor.org/stable/2311110
• Ioannis Papadimitriou: A Simple Proof of the Formula $\sum_{k=1}^\infty k^{-2} = \pi^2/6$; The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 4 (Apr., 1973), http://www.jstor.org/stable/2319092
• Tom M. Apostol: Another Elementary Proof of Euler's Formula for $\zeta(2n)$; The American Mathematical Monthly Vol. 80, No. 4 (Apr., 1973), pp. 425-431, http://www.jstor.org/stable/2319093
• Tom M. Apostol: A proof that Euler missed: evaluating zeta(2) the easy way; The Mathematical Intelligencer, September 1983, Volume 5, Issue 3, pp 59-60, http://dx.doi.org/10.1007/BF03026576
• Josef Hofbauer: A Simple Proof of $1 + 1/2^2 + 1/3^2 + \dots = \pi^2/6$ and Related Identities; The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 2 (Feb., 2002), pp. 196-200, http://www.jstor.org/stable/2695334 alebo http://homepage.univie.ac.at/josef.hofbauer/02amm.pdf
• R. A. Kortram: Simple Proofs for $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2} {6}$ and sin $x = x \prod\limits^\infty_{k=1} \bigg(1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \bigg)$; Mathematics Magazine, Vol. 69, No. 2 (Apr., 1996), pp. 122-125, http://www.jstor.org/stable/2690668
• Dan Kalman: Six ways to sum a series, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 5, (1993), pp. 402-421, http://www.dankalman.net/AUhome/pdffiles/Sixways.pdf

[Martin Sleziak]

Viacerým dôkazom tohto faktu je venovaná kapitola knihy Aigner, Ziegler: Proofs from the Book.

[Martin Sleziak]

3Blue1Brown má na YouTube zaujímavé video súvisiace s týmto problémom: Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem

V súvislosti s tým pridám ešte linku na článok Johan Wästlund: Summing inverse squares by euclidean geometry (Wayback Machine) a na súvisiaci blog od toho istého autora: Infinite lake surrounded by lighthouses: Why $1+\frac14+\frac19+\dots=\frac{\pi^2}6$