Injektívnosť/surjektívnosť zloženia

[Martin Sleziak]

Zadania

Boli zadané zobrazenia $f,g\colon \mathbb R\to\mathbb R$ a úlohou bolo nájsť zobrazenie $g\circ f$ a tiež zistiť, či $g\circ f$ je injektívne/surjektívne.

Aby som odlíšil zadania jednotlivých skupín, tak tu na fóre pridám indexy. Jedna skupina mala funkcie:
\begin{align*}
g_1(x)&=x^2\\
f_1(x)&=x^3
\end{align*}
V druhej skupine to boli:
\begin{align*}
g_2(x)&=\sin x\\
f_2(x)&=x+\pi
\end{align*}

Ak ste zvedaví na príklady z písomiek z minulých rokov z takejto témy, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=1325
viewtopic.php?t=1153
viewtopic.php?t=735
viewtopic.php?t=493

[Martin Sleziak]

Riešenie
Označme $h_1=g_1\circ f_1$ a $h_2=g_2\circ f_2$.

V prvom prípade pre zložené zobrazenie dostaneme
$$h_1(x)=g_1(f_1(x))=(x^3)^2=x^6.$$
Zobrazenie $h_1(x)=x^6$ nie je injektívne lebo $f(1)=f(-1)=1$.
Zobrazenie $h_1(x)=x^6$ nie je surjektívne, lebo nadobúda iba nezáporné hodnoty, teda napríklad pre žiadne $x$ nedostaneme $h_1(x)=-1$.

V druhom prípade máme
$$h_2(x)=g_2(f_2(x))=\sin(x+\pi)=-\sin x.$$
Zobrazenie $h_2(x)$ nie je injektívne, lebo $f(0)=f(\pi)=1$.

Rovnosť $\sin(x+\pi)=\sin x$ asi vcelku ľahko vidno z grafu funkcie sínus aj z jednotkovej kružnice.
(Aj ak ste výsledok nechali v tvare $\sin(x+\pi)$, tak som to uznal ako správnu odpoveď. Každopádne s trigonometrickými funkciami budete pracovať často, vedieť robiť takéto veci je asi celkom užitočné.)

Ako niekoľko z vás v písomke poznmenalo, ak by sme mali $g_2$ určené tým istým predpisom ale ako zobrazenie $\mathbb R \to \langle-1,1\rangle$, tak by sme dostali surjekciu. (Je rozumné si uvedomiť, že ak nás zaujíma či niečo je surjekcia, tak nie je dôležitý iba predpis zobrazenia, ale aj to z akej množiny do akej množiny zobrazenie ide.)

Znovu pripomeniem, že z grafu môžeme vidieť, či zobrazenie $\mathbb R\to\mathbb R$ je injektívne/surjektívne: Horizontal line test.
Injektívne je vtedy, ak každá vodorovná priamka pretne graf najviac raz.
Surjektívne je vtedy, ak každá vodorovná priamka pretne graf aspoň raz.
(Zodpovedá to tomu, či každý prvok z $\mathbb R$ má najviac jeden resp. aspoň jeden vzor.)


Chyby, ktoré sa vyskytovali

V niektorých písomkách som si prečítal niečo zhruba takéto.

$g\circ f$ je injektívne, ak $f$ je injektívne a $g$ je injektívne.
$f$ je injektívne, $g$ nie je injektívne $\Rightarrow$ $g\circ f$ nie je injekcia

Je pravda, že z prednášky viete: Ak $g$ aj $f$ sú injekcie, tak $g\circ f$ je injekcia.
Je to však iba implikácia jedným smerom - nemusí platiť ekvivalencia. Čiže to nie je tak, že ak $g$ nie je injekcia, tak ani $g\circ f$ nie je injekcia.
(Pre tieto konkrétne zobrazenia to platí, nie to však pravda vo všeobecnosti. Teda aj keď ste sa tu nejako dostali k správnemu záveru - že $g\circ f$ je injektívne - tak to bolo pomocou nesprávneho zdôvodnenia.)

$g(f(x))=g(x+\pi)=g(\sin x+\pi)$

Toto nie je správne - v lepšom prípade ste mysleli niečo iné, než ste napísali.
Skúsim ešte raz zopakovať, čo vlastne znamená $g(f(x))$.
Zobrazenie $f$ je určená ako $f(x)=x+\pi$. Po dosadení máme teda $g(f(x))=g(x+\pi)$. Tento zápis nám hovorí, že na číslo $x+\pi$ máme aplikovať zobrazenie $g$, t.j. sínus. Dostaneme tak $g(f(x))=g(x+\pi)=\sin(x+\pi)$.
Môžeme začať aj z druhého konca. Zobrazenie $g$ robí to, že ak dostane nejaký vstup, tak vráti sínus z toho vstupu. Teda $g(f(x))=\sin(f(x))$.
Teraz ešte použijeme to, že $f(x)=x+\pi$ a dostaneme $g(f(x))=\sin(f(x))=\sin(x+\pi)$.

[Martin Sleziak]

Trochu všeobecnejšie o zložení s bijekciou

V oboch skupinách sme mali takú situáciu, že zobrazenie $f$ je bijekcia (v jednom prípade $f(x)=x^3$, v druhom $f(x)=x+\pi$) a pýtali sme sa na zobrazenie $g\circ f$.
Ako sme spomenuli aj na cvičení, platí takáto vec:

Nech $f\colon X\to Y$ a $f\colon Y\to Z$ sú zobrazenia, pričom $f$ je bijekcia. Potom:
a) $g\circ f$ je injekcia $\Leftrightarrow$ $g$ je injekcia;
b) $g\circ f$ je surjekcia $\Leftrightarrow$ $g$ je surjekcia.

Môžete si rozmyslieť, že niečo podobné by platilo "v opačnom poradí". T.j. ak by sme vedeli, že $g$ je bijekcia, tak by sme dostali podobný vzťah medzi injektívnosťou (surjektívnosťou) zobrazení $f$ a $g\circ f$.
Stručne povedané, zloženie s bijekciou neovplyvní, či zobraenie je surjektívne/injektívne.

V oboch častiach je implikácia $\boxed{\Leftarrow}$ dôsledok vety z prednášky: Vieme, že zloženie dvoch inejkcií je injekcia. Zloženie dvoch surjekcií je surjekcia. Zostáva sa pozrieť na implikácie $\boxed{\Rightarrow}$.

V časti b) si stačí spomenúť, že sme na minulom cvičení dokázal Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.

V časti a) by sme mohli postupovať priamo z definície.

Spoiler:

Chceme dokázať, že z $g(y_1)=g(y_2)$ vyplýva $y_1=y_2$.

Predpokladajme teda, že pre nejaké $y_{1,2}$ platí $g(y_1)=g(y_2)$.
Zo surjektívnosti zobrazenia $f$ dostaneme, že existuje $x_1\in X$ také, že $f(x_1)=y_1$ a tiež $x_2\in X$ také, že $f(x_2)=y$. Dostali sme teda:
$$g(f(x_1))=g(f(x_2)).$$
Súčasne vieme, že $g\circ f$ je injektívne, takže z tejto rovnosti dostaneme $x_1=x_2$.
Potom ale platí aj $f(x_1)=f(x_2)$, čo znamená, že $y_1=y_2$.

Takisto sa pri implikácii $\Leftarrow$ dá v oboch častiach využiť to, že máme k dispozícii inverzné zobrazenie $f^{-1}$. (Na prednáške bola veta o tom, že $f^{-1}$ existuje $\Leftrightarrow$ $f$ je bijekcia. Všimnime si tiež, že $f^{-1}$ je tiež bijektívne zobrazenie.)

Pomôže, ak si uvedomíme, že $g=(g\circ f)\circ f^{-1}$.

Spoiler:

Platí
$$(g\circ f)\circ f^{-1}=g\circ (f\circ f^{-1})=g\circ id_Y=g.$$
(Skúste si rozmyslieť, čo sme využili v jednotlivých krokoch.)

a) Pretože $g\circ f$ je injektívne a $f^{-1}$ je injektívne, aj ich zloženie $g=(g\circ f)\circ f^{-1}$ je injektívne.
b) Pretože $g\circ f$ je surjektívne a $f^{-1}$ je surjektívne, aj ich zloženie $g=(g\circ f)\circ f^{-1}$ je surjektívne.