Komutatívnosť, asociatívnosť danej operácie

[Martin Sleziak]

Všeobecný komentár k úlohám takéhoto typu. Cieľom je zdôvodniť, či nejaká vlastnosť platí alebo nie - napríklad asociatívnosť.
Ak je odpoveď že $*$ je asociatívna, tak by som mal uviesť nejaký argument (dôkaz), že $a*(b*c)=(a*b)*c$ platí pre ľubovoľné $a$, $b$, $c$ z danej množiny.
Ak je odpoveď, že $*$ nie je asociatívna, tak úplne stačí nájsť jeden konkrétny prípad, kedy táto rovnosť neplatí. Samozrejme, na jeho nájdenie mi možno môže pomôcť ak skúsim začať upravovať ľavú a pravú stranu. Ale tak či tak sa oplatí uviesť aj nejaký konkrétny kontrapríklad. (Aby som si bol istý, že som nedospel iba k tomu, že na oboch stranách mám zapísané to isté, ale iným spôsobom.)

Zadania a riešenia

Skupina A: Zistite, či binárna operácia $*$ na množine $\mathbb R$ definovaná uvedeným predpisom je komutatívna, asociatívna a či má neutrálny prvok. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
$$x*y=x-y$$

Táto operácia nie je komutatívna, napríklad $1*0=1-0=1$ a $0*1=0-1=-1$, čiže $1*0\ne0*1$.

Táto operácia nie je asociatívna, napríklad $0*(0*1)=0-(0-1)=1$ a $(0*0)*1=(0-0)-1=0-1=-1$, čiže $0*(0*1)\ne(0*0)*1$.

Pri hľadaní kontrapríkladu mi mohlo pomôcť, keď som skúsil upraviť výrazy
\begin{align*}
a*(b*c)&=a-(b-c)=a-b+c\\
(a*b)*c&=(a-b)-c=a-b-c
\end{align*}
Vidím, že kontrapríklad dostanem ak $a$, $b$ zvolím ľubovoľne a $c$ si zvolím nejaké nenulové číslo.

Táto operácia nemá neutrálny prvok.
Ak by $e$ bol neutrálny prvok, tak by malo platiť $x*e=x-e=x$, čo je možné iba pre $e=0$.
Súčasne však dostávame $0*x=0-x=-x$, teda rovnosť $0*x=x$ neplatí pre žiadne nenulové reálne číslo $x$.

Skupina B: Zistite, či binárna operácia $*$ na množine $\mathbb R$ definovaná uvedeným predpisom je komutatívna, asociatívna a či má neutrálny prvok. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
$$x*y=x$$

Táto operácia nie je komutatívna, napríklad $1*0=1$ a $0*1=0$, čiže $1*0\ne0*1$.

Táto operácia je asociatívna, platí totiž
\begin{align*}
a*(b*c)&=a,\\
(a*b)*c&=a*c=a.
\end{align*}

Táto operácia nemá neutrálny prvok.
Muselo by totiž platiť $e=e*x=x$ pre každé reálne číslo $x$. Čiže $e$ by sa súčasne muselo rovnať nule, jednotke (a aj každému ďalšiemu reálnemu číslu), čo určite nemôže byť pravda.

Skupina C: Zistite, či binárna operácia $*$ na množine $\mathbb R$ definovaná uvedeným predpisom je komutatívna, asociatívna a či má neutrálny prvok. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
$$x*y=\frac{x+y}2$$

Táto operácia je komutatívna, platí
$$a*b=\frac{a+b}2=\frac{b+a}2=b*a.$$

Táto operácia nie je asociatívna, napríklad $(0*0)*1=0*1=\frac12$ a $0*(0*1)=0*\frac12=\frac14$, čiže $(0*0)*1\ne0*(0*1)$.

Pri hľadaní kontrapríkladu mi mohlo pomôcť, keď som skúsil upraviť výrazy
\begin{align*}
a*(b*c)&=\frac{a+\frac{b+c}2}2=\frac{2a+b+c}4\\
(a*b)*c&=\frac{\frac{a+b}2+c}2=\frac{a+b+2c}4
\end{align*}
Stačí mi teda nájsť čísla také, že $2a+b+c\ne a+b+2c$, čo je ekvivalentné s $a\ne c$.

Táto operácia nemá neutrálny prvok.
Ak by existoval neutrálny prvok $e\in\mathbb R$, tak by pre každé reálne číslo muselo platiť:
\begin{align*}
e*x&=x\\
\frac{e+x}2&=x\\
\frac e2&=\frac x2\\
e&=x
\end{align*}
Reálne číslo $e$ sa nemôže rovnať každému reálnemu číslu $x$ súčasne.

Skupina D: Zistite, či binárna operácia $*$ na množine $\mathbb R$ definovaná uvedeným predpisom je komutatívna, asociatívna a či má neutrálny prvok. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)
$$x*y=|x|\cdot y$$

Táto operácia nie je komutatívna, napríklad $1*(-1)=-1$ a $(-1)*1=1$, teda $1*(-1)\ne(-1)*1$.
Opäť, pri nájdení kontrapríkladu možno pomôže pozrieť sa na to, že sa vlastne pýtame na platnosť rovnosti $|a|\cdot b=b\cdot |a|$; azda aspoň trochu vidno, že znamienka čísel $a$ a $b$ tam zohrávajú nejakú úlohy.

Táto operácia je asociatívna, platí
\begin{align*}
a*(b*c)&=|a|\cdot(|b|\cdot c) = |ab|\cdot c\\
(a*b)*c&=||a|\cdot b| \cdot c = |ab|\cdot c
\end{align*}
Pre istotu napíšem k úprave výrazov s absolútnou hodnotou, že $|ab|=|a|\cdot|b|$ a aj $\left||a\right|b|=||a||\cdot|b|=|a|\cdot|b|$.

Táto operácia nemá neutrálny prvok.
Ak by $e\in\mathbb R$ bol neutrálny prvok, tak by muselo platiť (pre každé $x\in\mathbb R$)
\begin{align*}
e*x&=|e|\cdot x=x\\
x*e&=|x|\cdot e=x
\end{align*}
Z toho, že $|e|\cdot x=x$ platí pre nejaké $x\ne 0$ dostávame, že $|e|=1$, teda $e=\pm1$.
Ak sa však pozrieme na druhú rovnosť, tak žiadna z týchto dvoch možností nefunguje.
Ak by $e=1$ bol neutrálny prvok, muselo by pre všetky $x$ platiť $|x|=x$; toto ale neplatí pre záporné čísla.
Ak by $e=-1$ bol neutrálny prvok, muselo by pre všetky $x$ platiť $-|x|=x$; toto ale neplatí pre kladné čísla.
(V princípe by sa to dalo vybaviť aj stručnejšie, ak by sme to zdôvodnili takto: V závislosti od znamienka $e$ má výraz $|x|\cdot e$ iba nezáporné hodnoty alebo iba nekladné hodnoty. Nemôže sa teda všade zhodovať s $x$, ktoré nadobúda aj kladné aj záporné hodnoty.)

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam

Pri neutrálnom prvku treba skontrolovať, či platí $e*x=x*e=x$. Niektorí ste skontrolovali len jedno poradie - to v prípade, že operácie nie je komutatívna, nestačí.

Neutrálny prvok je jeden konkrétny prvok. Ak ste napríklad prehlásili, že z $e*x=x$ dostanete $e=x$ a teda neutrálny prvok je $e=x$, tak to nie je správne. (Hľadáte jedno konkrétne číslo, tu ste napísali, že $e$ sa súčasne rovná všetkým reálnym číslam.)

Stále hovoríme o tej istej operácii. T.j. napríklad ak v skupine C počítame $(x*y)*z$, tak je to
$$(x*y)*z=\left(\frac{x+y}2\right)*z=\frac{\frac{x+y}2+z}2.$$
Niektorí ste už potom pri ďalších operáciách urobili niečo iné, napríklad sa v odovzdaných riešeniach vyskytlo $\left(\frac{x+y}2\right)+\frac z2$; toto nie je to isté, čo dostanem ak aplikujem zadanú operáciu na $\frac{x+y}2$ a $z$.

Toto je skôr pripomienka k formulácii, ale niektorí ste napísali napríklad v skupine C, že "ak $x\ne z$, tak operácia nie je asociatívna".
Je pravda, že podmienka vystupujúca v asociatívnosti neplatí práve vtedy, ak $x$ a $z$ sú rôzne. Z toho dostanem, že operácia nie je asociatívna.
(Len chcem nejako povedať to, že ide o vlastnosť operácie - čiže binárna operácia buď je asociatívna alebo nie je asociatívna. Povedať, že pre niektoré prvky je a pre niektoré prvky nie je asociatívna nesedí s tým, ako je asociatívnosť definovali. Povedať, že rovnosť $(x*y)*z=x*(y*z)$ pre niektoré trojice platí a pre niektoré nie, je úplne v poriadku.)