Bijekcie $G\to G$

[Martin Sleziak]

Napíšem sem niečo k úlohám z písomky. Aj 1PMA aj 1MAT mali na písomke úlohu dokázať o nejakom zobrazení $G\to G$, že to je bijekcia.

Pripomeniem, že z prednášky viete, že nejaké zobrazenie je bijektívne práve vtedy keď k nemu existuje inverzné. Poriadnejšie to môžeme sformulovať takto:

Veta. Zobrazenie $f\colon A\to B$ je bijektívne $\Leftrightarrow$ existuje $g\colon B\to A$ také, že $g\circ f=id_A$ a $f\circ g=id_B$.

Takto je tento výsledok sformulovaný vo vete 1.5 v zelenej knihe. V bielej knihe to je dôsledok 1.1.16.

Môžeme si tiež uvedomiť, že podmienky $g\circ f=id_A$ a $f\circ g=id_B$ vlastne hovoria toto:
\begin{gather*}
(\forall a\in A) g(f(a))=a\\
(\forall b\in B) f(g(b))=b
\end{gather*}

Spomínam to preto, že v tejto úlohe sa nám to môže hodiť. (A môže to byť užitočné aj inde. Oplatí sa uvedomiť si, že ak sa nám podarí nájsť - alebo uhádnuť - inverzné zobrazenie k $f$, tak to môžeme použiť na dôkaz bijektívnosti $f$. Vlastne tam stačí overiť uvedené dve podmienky.)

Pre obe skupiny napíšem ako by sa úloha dali vyriešiť takýmto spôsobom. Ale napíšem aj riešenie priamo z definície (t.j. overením injektívnosti a surjektívnosti).

[Martin Sleziak]

Zadanie.

Nech $(G,*)$ je grupa a $a\in G$. Dokážte, že zobrazenie $f_a\colon G\to G$ určené predpisom
$$f_a(x)=a*x$$
je bijekcia.

(Druhá skupina mala podobnú úlohu, zobrazenie bolo definované ako $x\mapsto a*x$.)

Ak to pomôže lepšie si predstaviť o čo ide, môžete vyskúšať nejakú konkrétnu grupu s ktorou vieme ľahko pracovať. Napríklad ak si vezmeme $(\mathbb Z,+)$, tak $f_a$ je zobrazenie $z\mapsto z+a$; čiže každé celé číslo sa posúva o $a$ doprava.

Riešenie.

Môžeme to vyskúšať priamo z definície - overíme, že $f_a$ je injektívne aj surjektívne.

Injektívnosť. Chceme overiť či platí implikácia: $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2$.
Z $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ postupne dostaneme:
\begin{align*}
f_a(x_1)&=f_a(x_2)\\
a*x_1&=a*x_2\\
x_1&=x_2
\end{align*}
(V prvom kroku sme len prepísali definíciu zobrazenia $f_a$. Potom môžeme použiť zákony o krátení alebo vynásobiť obe strany zľava $a^{-1}$.)
Zistili sme, že z $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ skutočne vyplýva $x_1=x_2$. Teda $f_a$ je injektívne zobrazenie.

Surjektívnosť. Chceme overiť, či pre každé $y\in G$ existuje $x\in G$ také, že $f_a(x)=y$.
Teda pre dané $a,y\in G$ sa pýtame na $x$, pre ktoré platí $a*x=y$.
Z tejto rovnosti vieme postupne odvodiť:
\begin{align*}
a*x&=y\\
x&=a^{-1}*y
\end{align*}
(Vynásobili sme ju zľava $a^{-1}$.)
Vidíme teda, že $a^{-1}*y$ je jediný možný kandidát pre hľadané $x$.
Môžeme sa presvedčiť, že skutočne platí
$$f_a(a^{-1}*y)=a*a^{-1}*y=y.$$
(A tiež je jasné, že $a^{-1}*y\in G$, pretože prvky $a^{-1}$ aj $y$ patria do $G$.)

Týmto je riešenie hotové - ukázali sme, že $f_a$ je surjektívne aj injektívne.
Ako inú možnosť riešenia si ukážme zdôvodnenie bijektívnosti pomocou vety, ktorú som pripomenul na začiatku.

Chceme teda nájsť vhodné zobrazenie $g$ tak, aby platilo že $g\circ f_a$ aj $f_a\circ g$ je identita.
Možno sa dá po troche rozmýšľania uhádnuť, že vhodný kandidát je $g(x)=a^{-1}*x$. (Môžeme si všimnúť, že $g=f_{a^{-1}}$.)
Ak nie je celkom jasné, ako sme na takýto tip prišli, tak môže znovu pomôcť pošpekulovať ako by to vyzeralo v prípade, že $G$ je $(\mathbb Z,+)$.

Existuje inverz. Položíme $g(x)=a^{-1}*x$ a skontrolujeme, čo dostaneme zložením $g\circ f_a$ a $f\circ g_a$.
\begin{gather*}
g(f_a(x))=g(a*x)=a^{-1}*(a*x)=(a^{-1}*a)*x=e*x=x\\
f_a(g(x))=g(a^{-1}*x)=a*(a^{-1}*x)=(a*a^{-1})*x=e*x=x
\end{gather*}
Teda sme našli zobrazenie $g$, ktoré je inverzné k $f_a$, z čoho vyplýva, že $f_a$ je bijekcia.

Pár ďalších poznámok.

Keď už hovoríme o týchto zobrazeniach, môžeme spomenúť nejaké veci, čo s nimi súvisia.

Všimnime si, že takto máme definované zobrazenie $f_a$ pre každé $a\in G$. Čiže vlastne pracujeme s celou množinou zobrazení?
Môžete si vyskúšať, či viete zdôvodniť, že pre takto definované zobrazenia platí:
\begin{align*}
f_e&=id_G\\
f_a\circ f_b&=f_{a*b}\\
(f_a)^{-1}&=f_{a^{-1}}
\end{align*}

Ak vieme tieto vlastnosti, už by nemalo byť ťažké prísť na to, že množina zobrazení $M=\{f_a; a\in G\}$ tvorí s operáciou skladania zobrazení grupu.
Dá sa overiť aj to, že predpis $a\mapsto f_a$ určuje izomorfizmus $(G,*)\to(M,\circ)$
Tieto veci súvisia s Cayleyho vetou, o ktorej budete počuť na algebre v druhom ročníku.

[Martin Sleziak]

Zadanie.

Nech $(G,*)$ je grupa a $a\in G$. Dokážte, že zobrazenie $f_a\colon G\to G$ určené predpisom
$$f_a(x)=a*x*a^{-1}$$
je bijekcia.

V druhej skupine bolo zobrazenie zadané ako $a\mapsto a^{-1}*x*a$.

V tomto prípade by nám asi príklad s $(\mathbb Z,+)$ veľmi užitočný na pomoc s lepšou predstavou ako toto zobrazenie vyzerá.
Ak je grupa $G$ komutatívna, tak máme $f_a(x)=a*x*a^{-1}=a*a^{-1}*x=x$, čiže $f_a=id_G$ pre každé $a\in G$. (To očividne je bijekcia - čiže ak by nás zaujímali iba komutatívne grupy, tak by to bola veľmi jednoduchá úloha.)

Riešenie.

Injektívnosť. Mali by sme ukázať, že $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ $\implies$ $x_1=x_2$.
Z rovnosti $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ postupne dostaneme:
\begin{align*}
f_a(x_1)&=f_a(x_2)\\
a*x_1*a^{-1}&=a*x_2*a^{-1}\\
a*x_1&=a*x_2\\
x_1&=x_2
\end{align*}
(V prvom kroku sme len prepísali)
Teda z $f_a(x_1)=f_a(x_2)$ skutočne vyplýva $x_1=x_2$, čo znamená, že zobrazenie $f_a$ je injektívne.

Surjektívnosť. Chceme ukázať, že pre ľubovoľné $y\in G$ existuje $x\in G$ také, že $f_a(x)=y$.
Ak $f_a(x)=a$, tak
\begin{align*}
a*x*a^{-1}&=y\\
x*a^{-1}&=a^{-1}*y\\
x&=a^{-1}*y*a\\
\end{align*}
Teda $x=a^{-1}*y*a$ je jediný kandidát na vzor pre $y$. Priamo dosadením sa môžeme presvedčiť, že skutočne platí $f_a(a^{-1}*y*a)=y$:
$$f_a(a^{-1}*y*a)=a*(a^{-1}*y*a)*a^{-1}=(a*a^{-1})*y*(a*a^{-1})=y.$$

Týmto sme už úlohu vyriešili - dokázali sme, že $f_a$ je injektívne aj surjektívne; teda je to bijekcia.
Môžeme si ukázať, že aj tu sa dá ako alternatívne riešenie použiť to, že nájdeme zobrazenie $g$ spĺňajúce vlastnosti z predošlej vety.

Existuje inverz. Definujme $g\colon G\to G$ ako $g(x)=a^{-1}*x*a$. (Môžeme si všimnúť, že $g=f_{a^{-1}}$.)
Potom platí $g\circ f_a=id_G$ aj $f_a\circ g=id_G$, keďže
\begin{gather*}
g(f_a(x))=a^{-1}*(a*x*a^{-1})*a=(a^{-1}*a)*x*(a^{-1}*a)=x\\
f_a(g(x))=a*(a^{-1}*x*a)*a^{-1}=(a*a^{-1})*x*(a*a^{-1})=x
\end{gather*}

Pár ďalších poznámok.

Opäť by sa dali dokázať podobné vlastnosti ako v predošlej úlohe:
\begin{align*}
f_e&=id_G\\
f_a\circ f_b&=f_{a*b}\\
(f_a)^{-1}&=f_{a^{-1}}
\end{align*}
Opäť platí, že množina zobrazení $M=\{f_a; a\in G\}$ tvorí grupu (s operáciou $\circ$) a $a\mapsto f_a$ je homomorfizmus. V tomto prípade už ale nemusí byť bijektívny (Videli sme, že pre komutatívnu grupu takéto zobrazenie zobrazí všetky prvky na $id_G$.)

Zobrazenie definované takýmto predpisom je navyše homomorfizmus $G\to G$. (Keďže je to homomorfizmus a súčasne bijekcia, tak je to izomorfizmus.)
$$f_a(x*y)=a*(x*y)*a^{-1}=(a*x*a^{-1})*(a*y*a^{-1})=f_a(x)*f_a(y).$$
Takéto izomorfizmy bývajú niekedy užitočné, hovorí sa im vnútorné automorfizmy.

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam

V niektorých písomkách som si prečítal "$x_1=x_2$ $\Rightarrow$ $f(x_1)=f(x_2)$" ako definíciu injekcie.
Toto platí pre každé zobrazenie.
Definícia injekcie je: $f(x_1)=f(x_2)$ $\Rightarrow$ $x_1=x_2$.

Pri surjektívnosti chceme ukázať, že $(\forall y\in G)(\exists x\in G)f(x)=y$.
Ak ste si označili prvok ku ktorému hľadáte vzor a aj samotný vzor tým istým písmenom, tak ste dostali podmienku, ktorá znamená niečo iné: $(\forall x\in G)(\exists x\in G)f(x)=x$. (Z takejto podmienky by sme už dostali, že $f=id_G$; je jasné, že existujú aj iné surjektívne zobrazenia.)

V nejakej písomke som videl argument idúci zhruba takto: "Už sme ukázali, že $f\colon G\to G$ je injekcia. Navyše máme $|G|=|G|$. Teda $f$ je aj surjekcia."
To, že z injektívnosti zobrazenia $A\to A$ už vyplýva bijektívnosť, prejde iba pre konečné množiny.