Podgrupy (a nepodgrupy)

[Martin Sleziak]

Pozrime sa najprv na skupiny, kde nevyšla podgrupa - tam to je jednoduchšie.

Zistite, či množina
$$H=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R; x\ge0\}$$
tvorí podgrupu grupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.

Táto množina nie je uzavretá na inverzné prvky. Napríklad $(1,0)\in H$, ale $(-1,0)\notin H$.
Teda to nie je podgrupa.

Zistite, či množina
$$H=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R; |x|=|y|\}$$
tvorí podgrupu grupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.

Táto množina nie je uzavretá na sčitovanie. Napríklad $(1,1),(1,-1)\in H$ ale $(1,1)+(1,-1)=(2,0)\notin H$.
Teda to nie je podgrupa.

Ostatné dve skupiny mali veľmi podobné zadania, v oboch prípadoch išlo o podgrupu grupy $(\mathbb R^2,+)$. Pozrime sa na jednu z nich.

Zistite, či množina
$$H=\{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R; x+2y=0\}$$
tvorí podgrupu grupy $(\mathbb R\times\mathbb R,+)$.

Riešenie z definície.
Máme skontrolovať, že ide o podgrupu.
Mali by sme overiť, že $H\ne\emptyset$. Na to si stačí všimnúť, že $(0,0)\in H$.
Ďalej chceme skontrolovať, že platí $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in H$ $\Rightarrow$ $(x_1+x_2,y_1+y_2)\in H$.

Spoiler:

Podmienky $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in H$ znamenajú, že $x_1+2y_1=0$ a $x_2+2y_2=0$.
Ak tieto dve rovnosti sčítame, tak dostaneme $(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)=0$, čo je ekvivalentné s $(x_1+x_2,y_1+y_2)\in H$.
(Detailnejšie rozpísané: $0=0+0=x_1+2y_1+x_2+2y_2=x_1+x_2+2y_1+2y_2=(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)$.)

Ešte zostáva overiť, že $(x,y)\in H$ $\Rightarrow$ $(-x,-y)\in H$.

Spoiler:

Ak platí $(x,y)\in H$, tak máme $x+2y=0$.
Potom ale $(-x)+2(-y)=-(x+2y)=0$. To znamená, že aj $(-x,-y)\in H$.

Skontrolovali sme všetky podmienky z kritéria podgrupy; $H$ je skutočne podgrupa.

Jadro vhodného homomorfizmu.
Môžeme si tiež všimnúť, že zobrazenie $f\colon(\mathbb R^2,+)\to(\mathbb R,+)$ definované predpisom $f(x,y)=x+2y$ je homomorfizmus.
Z prednášky dokonca viete, že $f(x,y)=ax+by$ je homomorfizmus z $(\mathbb R^2,+)$ do $(\mathbb R,+)$ pre ľubovoľné $a,b\in\mathbb R$. Ale aj bez odvolávania sa na prednášku sa to ľahko overí z definície.

Spoiler:

$f((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=f(x_1+x_2,y_1+y_2)=x_1+x_2+2(y_1+y_2)$
$f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=x_1+2y_1+x_2+2y_2=x_1+x_2+2(y_1+y_2)$
V oboch prípadoch sme dostali to isté.

Pretože jadro ľubovoľného homomorfizmu je podgrupa, dostávame aj, že
$$\operatorname{Ker} f=\{(x,y)\in\mathbb R^2; f(x)=0\}=\{(x,y)\in\mathbb R^2; x+2y=0\}$$
je podgrupa.