Prednášky ZS 2019/20

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (24.9.)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ, Bézoutova identita, Euklidova lema. (Ako posledné sme stihli lemu 2.1.10 a príklad 2.1.12. Nerobil som lemu 2.1.11, v ktorej sú viaceré jednoduché vlastnosti n.s.d. - tie sme aj využili v príklade. Vrátim sa k nej na začiatku budúcej prednášky.)

Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu. Plánujeme sa ale k nemu na tejto prednáške ešte vrátiť (najneskôr pri lineárnych kongruenciách).

[Martin Sleziak]

2. prednáška (1.10.):
Najväčší spoločný deliteľ. Povedali sme si nejaké základné vlastnosti n.s.d.. Veľmi stručne som povedal niečo o n.s.n. Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla). Kanonický rozklad, jeho súvis s deliteľnosťou, n.s.d, n.s.n.
Rozloženie prvočísel. Ukázali sme, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Potom sme si ukázali jeden dôkaz toho, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje.
Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov, ktoré sme využívali v dôkaze.
Takisto sme v dôkaze využili to, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnota tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V existuje veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu: viewtopic.php?t=65

[Martin Sleziak]

3. prednáška (8.10.):
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si ďalšie dva dôkazy, že $\sum\frac1p=+\infty$.
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$. (Nerobil som časť o funkciách $\operatorname{li}(x)$ a $\operatorname{Li}(x)$.)

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (15.10.)
Prvočíselná funkcia. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.
Nerobil som časť o vzťahu prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie $\vartheta$.

[Martin Sleziak]

5. prednáška. (22.10.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát. Približne rovnaký dôkaz (s odchýlkami v niektorých detailoch) sa dá nájsť aj na Wikipédii: Proof of Bertrand's postulate.
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo Fermatových číslach. Ako zaujímavosť sme spomenuli aj Gauss-Wantzelovu vetu, ktorá hovorí o skonštruovateľnosti pravidelných $n$-uholníkov pravítkom a kružidlom a súvise s Fermatovými prvočíslami.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (29.10.)
Kongruencie. Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)
Dokázal som aj nutné podmienky pre prvočíselné delitele Mersenových a Fermatových čísiel - tvrdenie 3.1.15 (ak $q\mid 2^p-1$, tak $p\mid q-1$) a vetu 3.3.11 (ak $p\mid 2^{2^m}+1$, tak $p=k2^{m+1}+1$).

[Martin Sleziak]

7. prednáška. (5.11.)
Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami/ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.) Toto celé vlastne súvisí s faktorizáciou (faktorovými grupami, okruhmi, a pod.)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Vyriešili sme aj jeden konkrétny príklad a na ňom zopakovali aj rozšírený Euklidov algoritmus. (Ukázali sme si aj zápis Euklidovho algoritmu pomocou tabuľky. Dá sa nájsť v poznámkach k prednáške, ale je o ňom niečo aj tu na fóre.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si aj konkrétny príklad.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (12.11.):
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (V dôkaze sme využili lemu 2.1.13, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil. Zdôvodnil som ju iba pomocou kanonického rozkladu - ak niekedy zvýši čas, tak sa vrátim k dôkazu, ktorý sa neopiera o kanonický rozklad.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.)
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme Eulerovu funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (19.11.):
Eulerova funkcia. Vyjadrenie Eulerovej funkcie na základe kanonického rozkladu: $\varphi(n)=\prod_{i=1}^k \left(p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}\right) = n \prod_{p\mid n} \left(1-\frac1p\right)$.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dva dôkazy malej Fermatovej vety. (Kombinatorický dôkaz a induktívny dôkaz pomocou binomickej vety.) Viacero dôkazov tejto vety je pozbieraných aj na Wikipédii: Proofs of Fermat's little theorem.
Eulerova veta. Urobili sme dva dôkazy Eulerovej vety. (Urobil som dôkaz založený na grupe redukovaných zvyškových tried.)
Ešte Eulerova funkcia. Dokázali sme (dvoma spôsobmi) identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova veta. Sformulovali sme Lagrangeovu vetu a ukázali, že vlastne vyplýva z toho, čo vieme o počte koreňov polynómu v poli: viewtopic.php?t=1349#p4076