Pozrime sa na takýto typ úlohy: Máme zadaný podpriestor $S$. Chceme nájsť homogénnu sústavu, ktorej množina riešení je podpriestor $S$.
Môžete si rozmyslieť, že takéto niečo sa dá urobiť vždy. (Dokonca toto je priamo úloha 5.2.8(1) v LAG1.)
Ja sa tu pozriem na pár konkrétnych príkladov a napíšem nejaké stručné komentáre okolo.
Spomínam to napríklad aj z tých dôvodov, že:
* Takéto niečo sa môže hodiť, ak chceme nájsť bázu/dimenziu prieniku dvoch daných podpriestorov: viewtopic.php?t=816
* Dá sa na to pozerať aj ako na nájdenie ortogonálneho doplnku $S^\bot$. Ten sme zatiaľ nepreberali - ale v letnom semestri budeme takéto niečo potrebovať dosť často, napríklad keď budeme počítať vzdialenosti medzi bodmi, priamkami, rovinami. (Resp. všeobecne medzi afinnými podpriestormi.)
* Ak sa naučím z redukovaného stupňovitého tvaru vyčítať rovnice, ktorým vyhovujú všetky riadky, tak mi to dáva ešte ďalšiu možnosť ako robiť (polo)skúšku správnosti.
Skúsme sa pozrieť na takúto úlohu:
Zadanie.
Pre podpriestor $S=[(1,1,2,1),(1,2,3,0),(1,-1,0,3)]$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite homogénnu sústavu lineárnych rovníc takú, že jej množina riešení je $S$.
Napíšem tu niečo k riešeniu - ale aby ste mali možnosť trochu nad touto úlohou porozmýšľať sami, tak niektoré časti nechám skryté.
Riešenie.
Môže sa oplatiť najprv skúsiť nájsť jednoduchšiu bázu pre $S$, možno s ňou sa nám bude ľahšie počítať. To môžeme spraviť napríklad úpravou na redukovaný stupňovitý tvar. (Ale v princípe nič by sa nezmenilo ani keby sme pracovali s pôvodnými vektormi.)
Mali by ste dostať, že $S=[(1,0,1,2),(0,1,1,-1)]$.
Vidíme teda tiež, že $\dim(S)=2$.
Teraz by sme chceli nájsť nejaké rovnice tvaru $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0$ tak, aby im vyhovovali vektory z $S$. (Čísla $a, b, c, d\in\mathbb R$ sú koeficienty, ktoré zatiaľ nepoznáme - tie by sme chceli nájsť.)
Rozmyslite si, čo vieme povedať o číslach $a$, $b$, $c$, $d$ na základe toho, že poznáme nejaké vektory, ktoré vyhovujú tejto rovnice. (Napríklad keď vieme, že $(1,1,2,1)$ má byť riešením tejto rovnice. Podobne vieme, že vektor $(1,0,1,2)$ vyhovuje tejto rovnici.)
Spoiler:
Ak máme daný vektor $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ ktorý má vyhovovať rovnici $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0$, tak týmto sme vlastne dostali podmienku, ktorú majú spĺňať $a$, $b$, $c$, $d$.
Čiže vlastne sa vymenili úlohy - teraz sú $x_1,\dots,x_4$ dané a $a$, $b$, $c$, $d$ sú neznáme.
Konkrétne ak má byť riešením vektor $(1,1,2,1)$, tak dostávame podmienku $a+b+2c+d=0$.
Ak má byť riešením $(1,0,1,2)$, tak musí platiť $a+c+2d=0$.
Skúste teda nejako zosumarizovať podmienky pre $a$, $b$, $c$, $d$, ktoré sme takto dostali - a nájsť všetky štvorice $(a,b,c,d)$, ktoré im vyhovujú.
Spoiler:
Ak by sme pracovali s pôvodnými vektormi, tak dostaneme, že $(a,b,c,d)$ má byť riešenie sústavy:
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0 & 0\\
1 &-1 & 0 & 3 & 0\\
\end{array}\right)$$
Ak vezmeme už redukovaný stupňovitý tvar
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 &-1 & 0\\
\end{array}\right)$$
(Čo je presne to isté, čo by sme dostali upravovaním pôvodnej sústavy, akurát sme vynechali nulový riadok.)
Z tohoto tvaru vieme hneď vyčítať bázu priestoru riešení. Stačí voliť prvky v stĺpcoch, kde nemáme vedúce jednotky.
Dostávame, že $(a,b,c,d)\in[(1,1,-1,0),(2,-1,0,-1)]$.
Viete z tohoto už dostať sústavu rovníc, ktorú hľadáme?
Spoiler:
Dostali sme sústavu
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 0 & 0 \\
2 &-1 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)$$
Inak zapísané:
\begin{align*}
x_1+x_2-x_3&=0\\
2x_1-x_2-x_3&=0
\end{align*}
Viete zdôvodniť, že riešenia tejto sústavy sú naozaj presne prvky z $S$? (T.j. prvky z $S$ vyhovujú sústave a sústava nemá žiadne ďalšie riešenia.)
Spoiler:
Označme si ako $M$ množinu riešení tejto sústavy, ako $S$ sme označili zadaný podpriestor.
$\boxed{S\subseteq M}$ Ľahko sa skontroluje, že $(1,0,1,2)$ aj $(0,1,1,-1)$ sú riešením sústavy, ktorú sme našli - stačí ich do nej dosadiť.
Keďže máme $(1,0,1,2),(0,1,1,-1)\in M$ a navyše vieme, že $M$ je vektorový podpriestor, tak dostaneme aj $[(1,0,1,2),(0,1,1,-1)]\subseteq M$.
$\boxed{M\subseteq S}$ Všimnime si, že naša sústava má dve lineárne nezávislé rovnice. (Viete vysvetliť prečo sú nezávislé?)
Hodnosť matice sústavy je teda $h(A)=2$ a dimenzia priestoru riešení je $\dim(M)=n-h(A)=4-2=2$.
Už predtým sme si uvedomili, že $\dim(S)=2$.
Sme teda v situácii, že platí $S\subseteq M$ a oba priestory majú rovnakú dimenziu.
Z toho už vidíme, že $S=M$.
Azda sa oplatí explicitne spomenúť aj to, že výsledok nie je v takomto prípade jednoznačne určený.
Stačí si uvedomiť, že akákoľvek iná sústava ekvivalentná s tou, ktorú sme dostali dáva tie isté riešenia.
Napríklad sa nič nezmení ak nejakú rovnicu vynásobím nenulovou konštantou. (Ja som napríklad pri zápise výsledku vybral také rovnice, aby bol prvý nenulový koeficient kladný.)
Takisto ak by sme pridali nejaké ďalšie rovnice, ktoré dostaneme ako lineárnu kombináciu tých čo už máme, tak neovplyvníme množinu riešení.
Viete z tohoto vyčítať sústavu takú, aby toto bola množina riešení?
Spoiler:
Napríklad
$
\left(\begin{array}{ccccc|c}
-\frac12 & \frac12 &-\frac12 & 1 & 0 & 0 \\
\frac14 & \frac14 &-\frac74 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$
alebo
$
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 &-1 & 1 &-2 & 0 & 0 \\
1 & 1 &-7 & 0 & 4 & 0
\end{array}\right)
$
(Tak ako som zapísal riešenie v tom druhom prípade sa mi bude o čosi ľahšie kontrolovať - nemám tam žiadne zlomky.)
Znovu pripomeniem to, čo som hovoril už viackrát. Pre niektoré typy úloh nie je podstatné dostať redukovaný stupňovitý tvar - úplne mi stačí taká matica, kde mám v každom nenulovom riadku takú jednotku, že ostatné prvky v tom stĺpci sú nulové. (V redukovanom stupňovitom tvare máme navyše podmienku, že tieto "špeciálne" jednotky majú mať nuly aj pred sebou v riadku a ešte majú byť riadky správnym spôsobom usporiadané. Malo by to byť tak, že ak rozumiete tomu prečo nám pri niektorom type úloh pomôže redukovaný stupňovitý tvar, tak by ste si mali byť schopní rozmyslieť či sa v takej úlohe dá použiť aj tento "poprehadzovaný" redukovaný stupňovitý tvar.)
V tomto konkrétnom príklad ak napríklad použijem posledné tri stĺpce, tak mám drobnú výhodu, že mi nevyjdú žiadne zlomky.
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$
Spoiler:
Všimnem si, že viem dostať v štvrtom stĺpci nulu a ostatné jednotky ak odčítam od tretieho riadku prvý. (Resp. ak odčítam prvé dva, tak sa mi tretí riadok zjednoduší ešte viac a v pravej časti matice už máme pomerne veľa núl.)
Potom môžem počítať napríklad takto:
$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 & 1 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 &-2 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$
Zdôvodnenie, že množina riešení je práve podpriestor $S$ sa dá urobiť podobne, ako sme to urobili v predošlej úlohe. (Dosadením generátorov a úvahami o hodnosti a dimenzii.)
Vidíme, že nám vyšli sústavy, ktoré sú dosť rozdielne.
Oba výsledky sú správne - v oboch prípadoch sme našli sústavu, ktorej množina riešení je zadaný podpriestor.
Na tejto prednáške sme skalárny súčin síce ešte nepreberali, ale zo strednej školy niečo o ňom viete. (A tiež sa k tomu, čo tu napíšem, môžete vrátiť keď sa táto téma bude preberať)
Konkrétne poznáte pre prípady $n=2$ a $n=3$ (rovina, priestor) niečo také, že ak mám vektory $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$, $\vec y=(y_1,\dots,y_n)$, tak ich skalárny súčin je
$$\vec x\cdot\vec y=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n.$$
Tiež viete to, že vektory $\vec x$ a $\vec y$ sú na seba kolmé práve vtedy, keď $\vec x\cdot\vec y=0$.
Neskôr budete vidieť, že skalárny súčin sa dá definovať všeobecnejšie.
Ale zatiaľ sa držme toho čo som napísal vyššie - takýto skalárny súčin sa zvykne volať štandardný skalárny súčin.
A berme to, že skalárny súčin je nulový, ako definíciu kedy sú dva vektory v $\mathbb R^n$ na seba kolmé.
Keď si všimnete čo sme rátali v príkladoch vyššie, tak sme mali zadané nejaké vektory a hľadali sme štvorice $(a,b,c,d)$, pre ktoré platí $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0$. To sa dá Ekvivalentne povedať tak, že tento skalárny súčin je nulový:
$$(a,b,c,d)\cdot(x_1,x_2,x_3,x_4)=0.$$
Teda vlastne sme hľadali všetky vektory $(a,b,c,d)$, ktorú sú kolmé na zadané vektory. Dá sa ukázať, že potom budú kolmé aj na všetky vektory z ich lineárneho obalu $S$.
Množina vektorov, ktoré sú kolmé na každý vektor z $S$, sa volá ortogonálny doplnok podpriestoru $S$ a označuje sa $S^\bot$.
Vlastne sme teda v predošlých dvoch úlohách súčasne zrátali, že pre $S=[(1,1,2,1),(1,2,3,0),(1,-1,0,3)]$ máme $S^\bot=[(1,1,-1,0),(2,-1,0,-1)]$.
A v ďalšom príklad to, že pre $S=[(2,1,1,1,1),(1,2,1,0,1),(1,1,2,1,3)]$ máme $S^\bot=[(1,-1,1,-2,0),(1,1,-7,0,4)]=[(1,0,-3,-1,2),(0,1,-4,1,2)]$.
******
Ako som spomenul, takéto niečo budeme preberať neskôr. Ale keďže je to v podstate ten istý výpočet ako tu, tak sa mi zdalo rozumné to spomenúť.
Ak by sa niekto chcel pozrieť na veci súvisiace so skalárnym súčinom už teraz - skôr než budú aj na prednáške - tak sa dá na to pozrieť v literatúre, ktorú máte k tomuto predmetu. (Špeciálne nájdete kapitolu o tejto téme aj v bielej knihe aj v zelenej knihe.)
Pridám aj nejaké linky na Wikipédiu, na ktoré sa dá pozrieť: