Prednášky ZS 2019/20

[Martin Sleziak]

10. prednáška (25.11.):
Súčin matíc. Na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.
Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$.
Inverzná matica. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. Definícia inverznej matice. K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)
Ešte som na konci spomenul veci ako: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $(A^{-1})^{-1}=A$, $(AB)^T=B^TA^T$, $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$. (Dokázali sme z nich iba prvú rovnosť.)

Na prednáške nebudem robiť podkapitolu "elementárne riadkové operácie a súčin matíc". Nebudem z nej skúšať dôkazy - ale vedieť o súvise medzi súčinom a ERO sa oplatí. (A budete takéto niečo vidieť na cvičeniach.)

[Martin Sleziak]

11. prednáška (2.12.)
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách. (Dôkaz som povedal pomerne stručne, ale ukázal som ešte jeden dôkaz založený na vzťahu riadkových operácií a násobenia matíc.)
Homogénne sústavy. Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení a tiež to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Hodnosť transponovanej matice. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$.

[Martin Sleziak]

12. prednáška (9.12.)
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.
Jadro a obraz. Túto časť som na prednáške preskočil. Na skúške od vás budem chcieť aby ste z nej vedeli: Definíciu jadra a obrazu. Ako sa pomocou jadra a obrazu dá charakterizovať injektívnosť a surjektívnosť. (Tu sú dôkazy ľahké, takže tie si môžete pozrieť.) A bez dôkazu vetu o dimenzii jadra a obrazu, t.j. vetu ktorá hovorí, že pre lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ platí $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}f)+\dim(\operatorname{Im}f)$.
Determinanty. Na začiatku sme sa pozreli na plochu rovnobežníka resp. objem rovnobežnostena - aby sme neskôr videli, že to je to isté, čo dostaneme ako determinant. (Postup, ktorý sme robili, predpokladá že zo strednej školy poznáte vektorový súčin a skalárny súčin. Samozrejme, môžete sa zamyslieť aj nad tým, či by ste to isté vedeli odvodiť nejako inak. Na druhej strane, z vecí čo si neskôr ukážeme o determinante by mohlo byť vidieť, že zodpovedá ploche resp. objemu.)
Definícia determinantu. Stihli sme sa pozrieť na to, ako to vyjde pre matice $2\times2$. (Nabudúce sa pozrieme na $3\times3$.)

[Martin Sleziak]

Determinanty.
Výpočet determinantu pre matice rozmerov do $3\times3$. (Videli sme, že sme dostali to isté, čo minule keď sme počítali objem rovnobežnostena.)
Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$. Ako menia riadkové úpravy determinant. (Dokázať som stihol výmenu riadkov, $c$-násobok. Ukázal som, aký je determinant matice, ktorá vznikla z dvoch matíc "súčtom v jednom riadku", kde ostatné riadky sú vo všetkých troch maticiach. Spomenul som - ale už nestihol dokázať - že determinant matice, kde sú dva riadky rovnaké, je nulový. Takisto to, že determinant sa nezmení, ak pripočítam násobok niektorého riadku
Determinant hornej trojuholníkovej matice. (Toto tiež bolo bez dôkazu - opäť som to iba spomenul)
Nestihol som Laplaceov rozvoj a ani determinant súčinu matíc - tieto veci spomeniete na cvičení, keď budete rátať nejaké príklady.

Veci o determinantoch som dokazoval trochu v inom poradí ako je v texte k prednáške. Najprv som - priamo z definície - dokázal že výmena riadkov mení znamienko. Toto by sa použilo na dôkaz, že ak sa v matici opakujú riadky, tak $|A|=0$. V poznámkach je to urobené v opačnom poradí, ale tam v dôkaze používam Laplaceov rozvoj, o ktorom som zatiaľ nehovoril.

Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).