Skúškové písomky

[Martin Sleziak]

Budem sa sem snažiť priebežne dávať písomky, ktoré sa vyskytli na skúškach.
(Zhruba s takýmto rationale: Zrejme by ste si ich aj tak medzi sebou šírili. Takto môžete čas, ktorý by ste strávili ich scanovaním alebo prepisovaním využiť užitočnejšie.)
Riešenia písať na fórum nebudem - aspoň nie automaticky ku každej úlohe. Pre mnohé príklady zo skúšok na fóre môžete nájsť také úlohy už vyriešené. (Prinajmenšom podobné, alebo s inými číslami.) A ak si budete nejaký skúškový príklad pozerať a narazíte na problém, môžete sa tu opýtať - v rámci svojich časových možností sa budem snažiť niečo napísať.

[Martin Sleziak]

2.1.2020

• Nech $(G,*)$ je grupa a $a\in G$. Dokážte, že zobrazenie $f\colon G\to G$ definované predpisom $$f(x)=a*x$$ je bijekcia.
• Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad:
  Ak $S$ je vektorový podpriestor priestoru $\mathbb R^3$, tak aj $$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; (x+y,y,z)\in S\}$$ je podpriestor priestoru $\mathbb R^3$.
• Pre podpriestor $S=[(1,1,0,1),(2,3,-1,0),(1,3,-2,-3)]$ nájdite homogénnu sústavu lineárnych rovníc takú, že $S$ je presne jej množina riešení. (Zdôvodnite, že množina riešení sústavy, ktorú ste našli, je skutočne $S$.)
• Vypočítajte determinant
  $$\det\begin{pmatrix}
  4 & 2 & 3 & -4 \\
  3 & -2 & 1 & 5\\
  -2 & 0 & 1 & -3 \\
  8 & -2 & 6 & 4 \\
  \end{pmatrix}.$$

[Martin Sleziak]

3.1.2020 - skupina B

• Nech $G=\mathbb Q\times\mathbb Q\setminus\{(0,0)\}$. Definujme pre $(a,b),(c,d)\in G$
  $$(a,b)*(c,d)=(ac+2bd,ad+bc).$$
  Dostaneme takto binárnu operáciu na $G$, ktorá je aj asociatívna. (Tieto veci -- že to skutočne je binárna operácia a že je asociatívna -- nemusíte overovať, považujte ich za dané.)
  Overte, či $(1,0)$ je neutrálny prvok tejto operácie. Zistite, či $(G,*)$ je komutatívna grupa.
• Overte, či množina $$F=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$$ s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel tvorí pole.
• Zistite, či existuje inverzná matica k zadanej matici nad $\mathbb Z_5$. Ak áno, tak ju nájdite.
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  3 & 1 & 1 & 3 \\
  1 & 4 & 0 & 1 \\
  2 & 1 & 1 & 4 \\
  3 & 2 & 2 & 1 \\
  \end{pmatrix}
  $$
• Nájdite bázu a dimenziu podpriestorov $\operatorname{Ker}f$ a $\operatorname{Im}f$, kde $f$ je lineárne zobrazenie $f\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ určené maticou
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  1 & 2 & 1 & 4 \\
  2 & 3 & 3 & 6 \\
  1 &-1 & 4 &-2 \\
  1 & 4 &-1 & 8 \\
  \end{pmatrix}
  $$

3.1.2020 - skupina C

• Nech $G=\mathbb Q\times\mathbb Q\setminus\{(0,0)\}$. Definujme pre $(a,b),(c,d)\in G$
  $$(a,b)*(c,d)=(ac+3bd,ad+bc).$$
  Dostaneme takto binárnu operáciu na $G$, ktorá je aj asociatívna. (Tieto veci -- že to skutočne je binárna operácia a že je asociatívna -- nemusíte overovať, považujte ich za dané.)
  Overte, či $(1,0)$ je neutrálny prvok tejto operácie. Zistite, či $(G,*)$ je komutatívna grupa.
• Overte, či množina $$F=\{a+b\sqrt3; a,b\in\mathbb Q\}$$ s obvyklým sčitovaním a násobením reálnych čísel tvorí pole.
• Zistite, či existuje inverzná matica k zadanej matici nad $\mathbb Z_5$. Ak áno, tak ju nájdite.
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  3 & 1 & 1 & 3 \\
  2 & 1 & 0 & 3 \\
  2 & 1 & 1 & 4 \\
  3 & 2 & 2 & 1 \\
  \end{pmatrix}
  $$
• Nájdite bázu a dimenziu podpriestorov $\operatorname{Ker}f$ a $\operatorname{Im}f$, kde $f$ je lineárne zobrazenie $f\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4$ určené maticou
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  1 & 2 &-3 & 2 \\
  2 & 3 &-4 & 3 \\
  1 &-1 & 3 &-1 \\
  1 & 4 &-7 & 4 \\
  \end{pmatrix}
  $$

Ako som spomenul na skúške, dve úlohy na tejto písomke boli také, že niečo čo vám vyšlo v jednej z nich sa dalo použiť v druhej. (Ale samozrejme dajú sa vyriešiť aj bez toho, aby si človek všimol niečo takéto.)

[Martin Sleziak]

10.1.2020

• Nech $(G,\circ)$ je grupa. Dokážte, že ak $x\circ x=x$, tak $x=e$, t.j. $x$ je neutrálny prvok grupy $G$.
• Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad: Nech $f,g\colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia medzi vektorovými priestormi $V$, $W$ nad poľom $F$. Potom $$E=\{\vec x\in V; f(\vec x)=g(\vec x)\}$$ je podpriestor priestoru $V$.
• Pre zadané podpriestory $S$, $T$ priestoru $\mathbb R^4$ nájdite bázu a dimenziu priestorov $S\cap T$ a $S+T$.
  \begin{align*}
  S&=[(1,-1,1,1),(2,-3,1,0),(1,1,0,2)]\\
  T&=[(1,-2,0,-2),(1,-3,-1,-3),(2,-3,2,-1)]
  \end{align*}
• Zistite, či zadaná matica nad $\mathbb Z_5$ je regulárna a ak áno, nájdite k nej inverznú.
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  2 & 1 & 3 & 1 \\
  0 & 1 & 3 & 4 \\
  3 & 1 & 2 & 1 \\
  1 & 1 & 4 & 2 \\
  \end{pmatrix}
  $$

[Martin Sleziak]

17.1.2020$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$

• Dokážte, alebo nájdite kontrapríklad: Nech $\Zobr fXY$ a $\Zobr gYZ$ sú zobrazenia také, že $g\circ f$ je injekcia. Potom $g$ je tiež injekcia.
• Nájdite maticu $A$ nad $\mathbb R$ takú, že množina riešení homogénnej sústavy s maticou $A$ je $[(1,1,4,2),(1,0,1,2),(0,0,1,-1)]$. (Zdôvodnite, že množina riešení sústavy, ktorú ste našli, je skutočne rovná tomuto podpriestoru.)
• Nájdite (aspoň jedno) lineárne zobrazenie $\Zobr f{\mathbb Z_7^4}{\mathbb Z_7^3}$ (ak také existuje), pre ktoré:
  $f(1,4,3,1)=(1,2,6)$,
  $f(3,2,1,1)=(0,5,5)$,
  $f(1,0,3,3)=(1,2,2)$,
  $f(1,1,1,6)=(2,0,4)$.
• Určte hodnosť matice $A=
  \begin{pmatrix}
  c & c+1 & c-2 \\
  c & 2-2c & 1 \\
  c & 0 & 1
  \end{pmatrix}
  $ v závislosti od parametra $c\in\mathbb R$.

[Martin Sleziak]

31.1.2020

Prvé dva príklady boli rovnaké v oboch skupinách, druhé sa líšili iba v číslach:

• Dokážte: Ak pre každý prvok $x$ grupy $(G,\circ)$ platí $x\circ x=e$, tak táto grupa je komutatívna.
• Nech $A$ je štvorcová matica, pre ktorú platí $A^2 + A - I = 0$. Dokážte, že:
  a) $A^{-1}=I+A$;
  b) $A^3=-I+2A$
• Zistite, ktorý z vektorov $\vec x$, $\vec y$, $\vec z$ sa dá pridať k $\{\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\}$ tak, aby sme dostali bázu. (Je možné, že to neplatí pre žiadny z týchto vektorov, alebo že je viacero možností -- v takom prípade je vašou úlohou nájsť všetky.)
  Dajú sa vektory
  \begin{align*}
  \vec a_1&=(1,1,1,1)\\
  \vec a_2&=(1,2,2,1)\\
  \vec a_3&=(2,1,0,1)
  \end{align*}
  doplniť na bázu priestoru $\mathbb R^4$ niektorým z vektorov $\vec x=(1,3,0,-2)$, $\vec y=(2,1,1,2)$, $\vec z=(1,1,1,3)$?
• V druhej skupine: Dajú sa vektory
  \begin{align*}
  \vec a_1&=(2,1,1,-1)\\
  \vec a_2&=(1,1,0,-2)\\
  \vec a_3&=(1,1,1,0)
  \end{align*}
  doplniť na bázu priestoru $\mathbb R^4$ niektorým z vektorov $\vec x=(1,1,2,2)$, $\vec y=(1,0,0,-1)$, $\vec z=(1,1,1,1)$?
• Vypočítajte determinant danej matice nad poľom $\mathbb R$:
  $$\det
  \begin{pmatrix}
  2 & 0 & 1 & 1 \\
  1 & 2 & 1 & 0 \\
  0 & 1 & 3 & 1 \\
  1 & 1 & 4 & 2 \\
  \end{pmatrix}
  $$
• Vypočítajte determinant danej matice nad poľom $\mathbb R$:
  $$\det
  \begin{pmatrix}
  -1 & 1 & 4 & 1 \\
  2 & 0 & 1 & 1 \\
  -2 & 2 & 1 & 0 \\
  0 & 1 & 2 & 1 \\
  \end{pmatrix}
  $$

Na riešenie tretej úlohy sa dá pozrieť tu: viewtopic.php?t=1481

[Martin Sleziak]

7.2.2020

• Dokážte alebo nájdite kontrapríklad: Nech $V$, $W$ sú vektorové priestory a $f,g\colon V\to W$ sú lineárne zobrazenia. Potom aj zobrazenie $h\colon V\to W$ definované predpisom
  $$h(\vec x)=f(\vec x)-g(\vec x)$$
  je lineárne.
• Zistite, či daná matica nad poľom $\mathbb Z_5$ je regulárna. Ak áno, nájdite k~nej inverznú maticu.
  $$A=
  \begin{pmatrix}
  2 & 1 & 3 & 1 \\
  1 & 2 & 4 & 3 \\
  3 & 1 & 2 & 3 \\
  1 & 3 & 1 & 3 \\
  \end{pmatrix}
  $$
• Dokážte: Ak $A,B\in M_{n,n}(F)$ sú regulárne matice, tak aj matica $AB$ je regulárna.
• Nech $S=\{(x,y,z,t)\in \mathbb R^4; x+2y+3t=0, y+3z+t=0\}$ a $T=\{(x,y,z,t)\in \mathbb R^4; 2x+y+z+2t=0, x+y+3z+2t=0\}$.
  Nájdite bázu a dimenziu podpriestorov $S$, $T$, $S\cap T$, $S+T$ priestoru $\mathbb R^4$.

Druhá skupina mala veľmi podobné príklady.