Domáca úloha č. 2 - Riešenie

[Ludovit_Balko]

1. a) $\{1,2,4\}$ v $(\mathbb Z_7\setminus\{0\},\cdot)$; b) $\{x\in\mathbb R; x<0\}$ v $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$
   Riešenie: a) Keďže $G=(\mathbb Z_7\setminus\{0\},\cdot)$ je konečná, na overenie kritéria podgrupy pre množinu $H=\{1,2,4\}$, ktorá je neprázdnou podmnožinou $G$ je výhodné použiť tabuľku:
   \begin{array}{c|ccc}
   \cdot & 1 & 2 & 4 \\
   \hline
   1 & 1 & 2 & 4 \\
   2 & 2 & 4 & 1 \\
   4 & 4 & 1 & 2
   \end{array}
   Z nej už vidno, že súčin prvkov z $H$ je prvok z $H$ a ku každému prvku z $H$ existuje v $H$ inverzný. Teda $H$ je podgrupou $G$.
   
   b) Máme $ -1\in\{x\in\mathbb R; x<0\}$ a $(-1)(-1)=1\notin \{x\in\mathbb R; x<0\}$. Uvedená podmnožina teda nie je podgrupou.
2. a) $\{1,6\}$ v $(\mathbb Z_7\setminus\{0\},\cdot)$; b) $\{\sqrt2x; x\in\mathbb Q, x\ne0\}$ v $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$
   Riešenie: a) Podobne ako v 1.a) uvedená množina je podmnožinou $\mathbb{Z}_7$ a
   \begin{array}{c|cc}
   \cdot & 1 & 6 \\
   \hline
   1 & 1 & 6 \\
   6 & 6 & 1
   \end{array}
   preto uvedená podmnožina je podgrupou danej grupy.
   
   b) Stačí si všimnúť, že $1$ nie je prvkom $H=\{\sqrt2x; x\in\mathbb Q, x\ne0\}$, pretože ak by bola, tak pre nejaké racionálne číslo $x$ by
   \begin{align}
   1 & =\sqrt{2}x\\
   x&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}.
   \end{align}
   Keďže každá pogrupa nejakej grupy $G$ musí obsahovať neutrálny prvok grupy $G$ a $1$ je neutrálny prvok v $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, $H$ nemôže byť podgrupou $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$.
3. a) $\{1,2,5\}$ v $(\mathbb Z_7\setminus\{0\},\cdot)$; b) $\{\sqrt3x; x\in\mathbb Q\}$ v $(\mathbb R,+)$
   Riešenie: a) Tu si vieme všimnúť, že $2\in\{1,2,5\}$ a $2\cdot 2=4 \notin \{1,2,5\}$. Neprázdna množina $\{1,2,5\}\subset \mathbb{Z_7}$ preto nie je podgrupou danej grupy.
   
   b) Označme $G=(\mathbb R,+)$ a $H=\{\sqrt3x; x\in\mathbb Q\}$. Potom $H\subset G$ a $0=\sqrt3 \cdot 0\in H\neq\emptyset$. Overme podmienky z kritéria.
   Pre $\sqrt3x$ a $\sqrt3 y\in H$, t.j. $x$, $y\in\mathbb{Q}$ máme
   $$
   \sqrt3x +\sqrt3y=\sqrt3(x+y)\in H,
   $$
   lebo $x+y\in \mathbb{Q}$ a
   $$
   -\sqrt3x=\sqrt3(-x)\in H.
   $$
   lebo $-x\in\mathbb{Q}$.
   Podmnožina $H$ je tým pádom podgrupou $G$.
4. a) $\{1,3,6\}$ v $(\mathbb Z_7\setminus\{0\},\cdot)$; b)
   $\{x\in\mathbb R; x>0\}$ v $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$
   Riešenie: a) Podobne ako v 3.a) $3\in \{1,3,6\}$ a $3\cdot 3 = 2 \notin \{1,3,6\}$. Neprázdna množina $\{1,3,6\}\subset\mathbb{Z_7}$ teda nie je podgrupou uvedenej grupy.
   b) Označme $G=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$ a $H=\{x\in\mathbb R; x>0\}$. Potom $H\subset G$ a $1\in H\neq \emptyset$.
   Ďalej súčin dvoch kladných reálny čísel je kladné reálne číslo a prevrátená hodnota kladného reálneho čísla je kladné reálne číslo, symbolicky
   $$
   x,y\in H\Rightarrow x>0 \wedge y>0 \Rightarrow x\cdot y>0\Rightarrow x\cdot y\in H
   $$
   a
   $$
   x\in H\Rightarrow x>0 \Rightarrow \dfrac{1}{x}=x^{-1}>0 \Rightarrow x^{-1}\in H.
   $$
   Overením platnosti týchto podmienok sme ukázali, že $H$ je podgrupou $G$.