Čo dostaneme z tretej mocniny charakteru?

[Martin Sleziak]

Na poslednom seminári padla otázka (R.J.), či by sme vedeli nejako vhodne rozložiť aj vyššie mocniny charakterov, nielen druhú. (Rozklady vyšších mocnín možno nebudú užitočné pri hľadaní charakterov, keďže dostávame charaktery veľkých rozmerov; ale to nemení nič na tom, že je to zaujímavá otázka.) Dnes sme s Peťom nad týmto problémom chvíľu rozmýšlali, tak napíšem, čo nám vyšlo. Snáď je z toho aj niečo dobre.

Pripomeňme najprv stručne, čo sme urobili pre $\chi^2$.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1 \colon #2 \to #3}\newcommand{\Zobrto}[3]{#1 \colon #2 \mapsto #3}\newcommand{\CG}{\mathbb CG}$

Rozklad druhej mocniny

Z jedného staršieho cvičenia vieme, že ak $\Zobr TVV$ je zobrazenie také, že $T^2=id_V$, tak $V=U_1\oplus U_2$, kde $U_1=\{x; Tx=x\}$ a $U_2=\{x; Tx=-x\}$. (Iný možný dôkaz, ako je na linke ktorú som tu dal, by bol pozrieť sa na vlastné podpriestory k $1$ a $-1$. Iné vlastné hodnoty nemáme. Pre diagonalizovateľné matice to prejde úplne bez problémov. A v súvislosti s reprezentáciami konečných grúp nás aj tak zaujímajú iba diagonalizovateľné matice; takže s inými sa pre účely charakterov konečných grúp zaoberať ani nemusíme.)

Keď sme túto vec použili na lineárne zobrazenie $\Zobr T{V\otimes V}{V\otimes V}$, ktoré je na bázových prvkoch zadané ako $\Zobrto T{v_i\otimes v_j}{v_j\otimes v_i}$, tak $U_1$ a $U_2$ boli dokonca podmoduly a ich charaktery boli tie, ktoré sme našli.

Rozklad tretej mocniny

Pokúsme sa zopakovať rovnaký postup pre tretiu mocninu. Najprv sa pozrime na to, či platí analóg rozkladu $V$ na priamy súčet dvoch podpriestorov. Veľmi prirodzený kandidát sa zdá byť skúsiť to rozložiť na podpriestory $U_1=\{x; Tx=x\}$, $U_2=\{x; Tx=\omega x\}$; $U_3=\{x; Tx=\omega^2x\}$, kde $\omega=\exp(2\pi i/3)$ je primitívna tretia odmocnina z 1. Ideme ukázať, že aj v takejto situácii platí $V=U_1\oplus U_2\oplus U_3$.

Pre dané $x$ teda chceme nájsť $u_{1,2,3}$ tak, že $u_i\in U_i$ a ich súčet dáva $x$. Potom musí platiť
$$\begin{align*} x &= u_1 + u_2 + u_3\\ Tx &= u_1 + \omega u_2 + \omega^2u_3\\ T^2x &= u_1 + \omega^2 u_2 + \omega u_3 \end{align*}$$
Táto sústava má zjavne jediné riešenie (matica sústavy je Vandermodnova matica pre $1$, $\omega$, $\omega^2$), ktoré vieme aj ľahko vyjadriť:
$$\begin{align*} u_1&=\frac{x+Tx+T^2x}3\\ u_2&=\frac{x+\omega^2 Tx+\omega T^2x}3\\ u_3&=\frac{x+\omega Tx+\omega^2 T^2x}3 \end{align*}$$
Jednoduchým dosadením sa môžeme presvedčiť, že $Tu_1=u_1$, $Tu_2=\omega u_2$ a $Tu_3=\omega^2 u_3$.

Takmer rovnako by táto časť podľa mňa fungovala pre $n$-tú mocninu.

*********

Ak si zvolíme ľubovoľnú bázu priestoru $V$, tak dostaneme zobrazenie $\Zobr T{V\otimes V\otimes V}{V\otimes V\otimes V}$ určené ako
$\Zobrto T{v_i\otimes v_j\otimes v_k}{v_j\otimes v_k\otimes v_i}$
pre $1\le i,j,k \le n$.

Takéto zobrazenie spĺňa $T^3=id$ a máme teda rozklad $V\otimes V\otimes V=U_1\oplus U_2 \oplus U_3$. Mali by sme skontrolovať aj to, že $U_1$, $U_2$ a $U_3$ sú $\CG$-podmoduly, overenie bude ale zrejme veľmi podobné ako v prípade $V\otimes V$ v Proposition 19.12.

Pokúsme sa ešte teda vyrátať charakter zodpovedajúci podmodulu $U_1$.

Ako bázové vektory pre $U_1$ môžeme zvoliť vektory $$v_{ijk}=\frac{v_i\otimes v_j\otimes v_k+v_j\otimes v_k\otimes v_i+v_k\otimes v_i\otimes v_j}3$$ pre $1\le i,j,k \le n$. (Sú to vlastne $U_1$-zložky bázových vektorov $v_1,\dots,v_n$.)

Koľko vektorov sme takto dostali?
* pre $i<j<k$ dostaneme $\binom n3$ rôznych vektorov;
* pre $i=j<k$ dostaneme $\binom n2$ rôznych vektorov;
* pre $i<j=k$ dostaneme $\binom n2$ rôznych vektorov;
* pre $i=j=k$ dostaneme $n$ rôznych vektorov.

Spolu máme $\binom{n+2}3=\frac{(n+2)(n+1)n}6$ bázových vektorov.

Spoiler:

$\binom n3+\binom n2+\binom n2+\binom n1= \binom{n+1}3+\binom{n+1}2 = \binom{n+2}3$

Zvoľme teraz bázu $v_1,\dots,v_n$ takú, v ktorej je $g\in G$ reprezentované diagonálnou maticou; t.j $v_ig=x_iv_i$.
Potom vo $V\otimes V\otimes V$ máme $v_i\otimes v_j\otimes v_k=x_ix_jx_k v_i\otimes v_j\otimes v_k$.
Teda by sme chceli vyrátať
$$\chi_{U_1}(g)=\sum_{i<j<k}x_ix_jx_k+\sum_{i\ne j} x_i^2x_j+\sum_{i}x_i^3;$$
pričom túto hodnotu by sme radi vyjadrili nejako pomocou známych hodnôt $\chi(g)=\sum x_i$, $\chi(g^2)=\sum x_i^2$ a $\chi(g^3)=\sum x_i^3$.

Dá sa zrátať, že $$\chi_{U_1}(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)}6.$$
Ako malú skúšku správnosti môžeme skúsiť, že $\chi_{U_1}(1)=\frac{n^3+3n^2+2n}6$ skutočne dáva dimenziu podpriestoru $U_1$.

Spoiler:

Kvôli stručnosti budem písať namiesto $\sum\limits_{i<j<k} x_ix_jx_k$ už iba $\sum x_ix_jx_k$; aj všetky ostatné sumy sú myslené tak, že ich treba doplniť na príslušné symetrické polynómy. Napríklad zápisom $\sum x_i^2x_j$ myslím $\sum\limits_{i\ne j} x_i^2x_j$.
$\chi(g)^3=(\sum x_ix_jx_k)^3 = \sum x_i^3 + 6\sum x_ix_jx_k + 3\sum x_i^2x_j$
$\chi(g)\chi(g^2)=(\sum x_i)(\sum x_ix_j) = \sum x_i^3 + \sum x_i^2x_j$
$\chi(g^3)=\sum x_i^3$
Nejakou lineárnou kombináciou týchto 3 hodnôt chceme dostať $\chi_{U_1}(g)=\sum{x_ix_jx_k}+\sum{x_i^2x_j}+\sum x_i^3$.
Z uvedených vyjadrení sa už dajú ľahko nájsť príslušné koeficienty.

Zistili sme, že pre každý charakter $\chi$ by aj funkcia
$$\psi(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)}6$$
mala byť charakterom.

Konkrétne príklady

Azda by nebolo zlé vyskúšať to aspoň na jednom konkrétnom príklad - opäť ako akúsi skúšku správnosti.

Skúsme napríklad $S_3$; pre túto grupu poznáme triedy konjugácie aj tabuľku charakterov.

$$\begin{array}{cccc} g & 1 & (12) & (123)\\\hline \chi_1(g) & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2(g) & 1 & -1 & 1\\ \chi_3(g) & 2 & 0 & -1 \end{array}$$

Všimnime si, že ak $g=(12)$, tak $g^2=1$ a $g^3=(12)$, teda v\tomto prípade máme
$$\psi(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)}6=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(1)+2\chi(g)}6.$$
Ak $g=(123)$, tak $g$ a $g^2$ sú konjugované a $g^3=1$, teda
$$\psi(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)}6=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)^2+2\chi(1)}6$$

Ak pre ireduciblné charaktery skúsime použiť príslušný vzorec, tak dostaneme:
$$\begin{array}{cccc} g & 1 & (12) & (123)\\ g^2 & 1 & 1 & (132)\\ g^3 & 1 & (12) & (123)\\\hline \chi_1(g) & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2(g) & 1 & -1 & 1 \\ \chi_3(g) & 2 & 0 & -1 \\\hline \psi_1(g) & 1 & 1 & 1 \\ \psi_2(g) & 1 & -1 & 1 \\ \psi_3(g) & 4 & 0 & 1\\ \end{array}$$
Vidíme, že $\psi_1=\chi_1$, $\psi_2=\chi_2$ a $\psi_3=\chi_1+\chi_2+\chi_3$; čiže ide skutočne o charaktery.

Skúsme aj nejakú grupu, kde sa vyskytnú v tabuľke charakterov aj komplexné čísla; napríklad $A_4$. Tabuľka charakterov vyzerá takto

$$\begin{array}{c|cccc} g & id & (12)(34) & (123) & (132) \\\hline |C_G(g)|& 12 & 4 & 3 & 3 \\\hline \chi_1(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2(g) & 1 & 1 & \omega & \omega \\ \chi_3(g) & 1 & 1 & \omega^2 & \omega^2 \\ \chi_4(g) & 3 & -1 & 0 & 0 \\\hline \end{array}$$

Opät chceme zrátať charakter $\psi$. Ak $g=(12)(34)$, tak $g^2=1$ a $g^3=g$, teda
$$\psi(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)}6=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(1)+2\chi(g)}6.$$

Pre prvky rádu $3$, t.j. $g=(123)$ alebo $g=(132)$ máme $g^2=g^{-1}$ a $g^3=1$, teda
$$\psi(g)=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^{-1})+2\chi(1)}6=\frac{\chi(g)^3+3\chi(g)\overline{\chi(g)}+2\chi(1)}6.$$

$$\begin{array}{c|cccc} g & id & (12)(34) & (123) & (132) \\\hline \chi_1(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2(g) & 1 & 1 & \omega & \omega \\ \chi_3(g) & 1 & 1 & \omega^2 & \omega^2 \\ \chi_4(g) & 3 & -1 & 0 & 0 \\\hline \psi_1(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \psi_2(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \psi_3(g) & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \psi_4(g) & 10 & -2 & 1 & 1 \end{array}$$

V prvých troch prípadoch vyšiel triviálny charakter a v poslednom sme dostali $\psi_4=\chi_1+3\chi_3$.

Čo by sa ešte dalo robiť

* Neoveril som poriadne, či sú to naozaj $\CG$-podmoduly.
* Skúsiť dorátať charaktery $U_2$ a $U_3$. (Vieme o nich niečo povedať aj bez počítania? Budú mať rovnakú dimenziu? Budú rovnaké; prípadne komplexne združené?)
* Ako to bude s vyššími mocninami?
* Je pravdepodobné, že si už niekto pred nami takúto otázku položil; mohli by sme to skúsiť nájsť niekde v literatúre. (Na Wikipedii sa výsledok pre druhú mocninu spomína v článku Frobenius-Schur indicator. Spomínajú tam aj Higher Frobenius-Schur indicators; ale nepíšu, ako sa z nich dajú dostať charaktery.)

[Martin Sleziak]

V prípade problémov so zobrazením skrytých častí (spoiler) skúste použiť tento návod.

[Martin Sleziak]

Keď sa na to teraz ešte raz pozerám, tak mi tam chýba kopec vektorov, ktoré majú byť v $U_1$.
Síce som správne vynechal vektory $v_{231}$ a $v_{312}$, ktoré sa zhodujú s $v_{123}$; nikde však nemám vektor $v_{132}=v_{321}=v_{213}=$. Podobne pre hocijaké $i<j<k$.

Takisto mi niečo bude zrejme chýbať aj v tých možnostiach, kde sa niektoré z čísel i,j,k zhodovali.

Niekedy si snáď nájdem čas a pokúsim si to znovu prejsť a - ak sa mi podarí - napísať sem opravené riešenie. (Ak to medzičasom nenájdeme niekde hotové.)

EDIT: Ešte sem dopíšem, že hoci to, čo som napísal v prvom príspevku nebolo správne; až tak úplne zbytočné to nie je.

Keby sme o podpriestore generovanom vektormi
$$w_{ijk}=\frac{v_i\otimes v_j\otimes v_k+v_j\otimes v_k\otimes v_i+v_k\otimes v_i\otimes v_j+v_i\otimes v_k\otimes v_j+v_k\otimes v_j\otimes v_i+v_j\otimes v_i\otimes v_k}6$$
ukázali, že je to $\CG$-podmodul, tak výpočty, ktoré som robil hore, by nám mali dať presne ten charakter, ktorý som vyrátal tam - vtedy som si chybne myslel, že pôjde pre charakter pre $U_1=\{x; x=Tx\}$. (Vektory $w_{ijk}$ sa zdajú byť prirodzeným kandidátom na bázu podpriestoru $W_1=\{x;x=Sx\}$, kde $\Zobrto S{v_i\otimes v_j\otimes v_k}{6w_{ijk}}$. Aby sa overilo, že tento podpriestor je aj $\CG$-podmodul, stačí skontrolovať, že $S$ je $\CG$-homomorfizmus a potom použiť podobný postup, ako sme spravili pri $V\otimes V$ a symetrickej časti tohoto modulu.)

Podľa toho sa zdá, že keď by sme to skúsili robiť o niečo rozumnejšie, než som to skúšal pôvodne, tak $V\otimes V\otimes V$ by sa mohol dať rozložiť na viac podmodulov; nie iba na 3.

[Martin Sleziak]

Tak nakoniec som našiel na MSE dve otázky, ktoré sa pýtajú v podstate to isté, ako som riešil tu.
* How to generalise $(\wedge^2 \chi)(g) = \frac{1}{2}(\chi(g)^2-\chi(g^2))$?
* Characters of Symmetric and Antisymmetric Powers

Píše sa tam o niečom, čo volajú symmetrization of a character; dokonca je to vraj predpogramované v GAPe.

V jednej z odpovedí je odkaz na knihu K. Lux, H. Pahlings: Representations of Groups. A computational approach.

Na s.145 tam tvrdia (Definition 2.7.8 a Theorem 2.7.9), že takáto funkcia bude charakterom:
$$\frac1{m!}\sum_{\sigma\in S_m} \psi(\sigma) \prod_{j=1}^m \chi(g^j)^{a_j(\sigma)}$$
pre ľubovoľný charakter $\chi$ grupy $G$ a ľubovoľný ireducibilný charakter $\psi$ grupy $S_m$, pričom $a_j(\sigma)$ označuje počet $j$-cyklov v permutácii $\sigma$.
(V knihe je $1/n!$ a nie $1/m!$; predpokladám, že to je preklep, keď sa tam nijaké $n$ nevyskytuje.)
A ďalej tvrdia aj to že, $\chi^m$ dostaneme ako súčet takých funkcií cez všetky ireducibilné charaktery $\psi$ grupy $S_m$.
(Oni to tam formulujú trochu inak - je tam podmienka, $\psi$ dostaneme z nejakého "simple $\mathbb C S_m$-module"; to čo mi voláme irreducible $\CG$-module v tejto knihe volajú simple $\CG$-module; pozri Definition 1.1.16.)

Na s.146 sa potom na to pozrú pre $n=3$:
Example 2.7.10 From the character table of $S_3$ (Example 2.1.20) we see that
for any ordinary character $\chi$ of an arbitrary group $G$ we have
$$\begin{align*} \chi^{[3]}(g) &= \frac16(\chi(g)^3+3\chi(g)^2\chi(g^2)+2\chi(g^3)) \\ \chi^{[1^3]}(g) &= \frac16(\chi(g)^3-3\chi(g)^2\chi(g^2)+2\chi(g^3)) \\ \chi^{[2,1]}(g) &= \frac13(\chi(g)^3-\chi(g^3)) \end{align*}$$
In particular, we see that $\chi^{[1^3]}=0$ if $\chi(1)=2$.

Skúsme detailne skontrolovať pre triviálny charakter; t.j $\psi(g)=1$.
Tam máme 3 permutácie cyklového typu $(12)$, pre ktoré je $a_1=1$, $a_2=1$. Ďalej máme 2 trojcykly, pre ne $a_3=1$. A ešte pre identitu je $a_1=3$. (Ostatné $a_j$ sú nulové.)
$$\frac1{6}\sum_{\sigma\in S_m} \psi(\sigma) \prod_{j=1}^3 \chi(g^j)^{a_j(\sigma)}=\frac16(\chi(g)^3+3\chi(g)\chi(g^2)+2\chi(g^3)).$$
Pre ostatné dva ireducibilné charaktery by sme to spravili podobne.

Môžeme si ešte všimnúť, že pre $n=2$ takto skutočne dostaneme dva charaktery $\chi_S=\frac12(\chi(g)^2+\chi(g^2))$ a $\chi_A=\frac12(\chi(g)^2-\chi(g^2))$, čiže sa na to môžeme pozerať ako na zovšeobecnenie Proposition 19.12 z našej knihy.