Zdvojenie kocky, trisekcia uhla

[Martin Sleziak]

V texte na stránke je uvedená takáto úloha. (V súčasnej verzii je to úloha 3.6.3.) A vtedy keď stihnem, tak to zvyknem spomenúť aj na hodine.

Z daných bodov v rovine vieme vytvárať nové body pomocou pravítka a kružidla takto: Môžeme spojiť dva body priamkou. Môžeme zostrojiť kružnicu takú, že stred bude v niektorom zo zadaných bodov a polomer je vzdialenosť niektorých dvoch zadaných bodov. Dostaneme takto nové body na priesečníkoch takýchto priamok a kružníc.

Nazvime skonštruovateľnými bodmi v rovine body $(0,0)$ a $(0,1)$ a ďalej všetky body, ktoré vieme z týchto bodov dostať uvedeným spôsobom pomocou konečne veľa krokov.

Aká je kardinalita množiny všetkých skonštruovateľných bodov? Viete na základe toho zdôvodniť, že existujú body v rovine, ktoré z jednotkovej úsečky nie je možné zostrojiť pomocou pravítka a kružidla?

Je pri nej takáto poznámka pod čiarou.

O tom, že nie všetky konštrukcie sa dajú urobiť pravítkom a kružidlom by ste už mohli vedieť z algebry; dokonca by ste mohli poznať niektoré konkrétne dĺžky, pre ktoré sa nedajú zostrojiť takto dlhé úsečky, ako napríklad $\sqrt[3]2$ alebo $\cos\frac\pi9$. (Tieto hodnoty súvisia s geometrickými problémami známymi už od antických čias -- zdvojenie kocky, trisekcia uhla.) Pozri napríklad [ATA,Podkapitola 4.1 a 8.2], [DF,Section 13.3], [JMP], [S,Chapter 7], [Sl1].

Tu sme podali alternatívny dôkaz. Má nevýhodu, že nie je konštruktívny. Na druhej strane, princíp dôkazu sa ľahko aplikuje na podobné konštrukcie, kde robíme konečne veľa krokov a pri jednom kroku vieme vytvoriť len konečne veľa bodov. (V našom prípade: Prienik dvoch priamok, priamky a kružnice resp. dvoch kružníc nám pridá najviac dva body.)

Z uvedených referencií ATA ja známa kniha Algebra a teoretická aritmetika 1. Ďalšia vec, ktorá je v slovenčine, je príslušná podkapitola (nazvaná "Nemožnosť niektorých konštrukcií") v poznámkach k predmetu Algebra 2 na odbore matematika.

Stará akreditácia: Vy sa s niečím takýmto môžete stretnúť na predmete Vybrané partie z algebry. (Neviem, či sa to každý rok stihne prebrať, ale prinajmenšom je to spomenuté v informačnom liste.)

Nová akreditácia: Vy sa s niečím takýmto môžete stretnúť na predmete Vybrané partie z algebry a teoretickej aritmetiky. Tu je nejaký text o rozšíreniach polí práve k tomuto predmetu na magisterskom učiteľskom štúdiu - tento predmet beží teraz prvýkrát, čiže text je zatiaľ iba rozpracovaný.

[Martin Sleziak]

Aj keď som teda dal vyššie viacero odkazov, tak aspoň veľmi stručne k tomu niečo napíšem.

Veci, ktoré sa tu dajú využiť, sú vlastnosti konečných rozšírení polí.

O číslach $\sqrt[3]2$ a $\cos\frac\pi9$ sa dá dokázať, že ich stupeň nad poľom $\mathbb Q$ je rovný $3$. To v preklade znamená, že polynóm najnižšieho možného stupňa taký, že dané číslo je jeho koreňom, má stupeň $3$. (Toto je takzvaný minimálny polynóm.)

Súčasne sa dá ukázať, že pre každé skonštruovateľné číslo dostaneme ako stupeň číslo tvaru $2^n$. (Aspoň trochu možno vidno, že polynómy takýchto stupňov by tu mohli hrať úlohu, z toho že robíme prieniky kružníc - čo sú kvadratické rovnice; a priamok - tie nám dajú lineárnu rovnicu.)

Z toho už vidno, že uvedené čísla nie sú skonštruovateľné. (Vynechali sme síce veľa detailov - ale na ich doplnenie by sme museli vedieť aspoň niečo o rozšíreniach polí.)

Tieto čísla súvisia s niektorými známymi problémami. Číslo $\sqrt[3]2$ súvisí so zdvojením kocky - t.j. ak mám k dispozícii dĺžku hrany kocky, tak či vieme zostrojiť dĺžku hrany kocky s dvojnásobným objemom.

Pomocou čísla $\cos\frac\pi9$ zasa vieme, že sa (vo všeobecnosti) nedá urobiť trisekcia uhla. Uhol $\frac\pi3$ určite zostrojiť vieme, jeho tretina sa však pravítkom a kružidlom dostať nedá.

Iný klasický problém, ktorý som zatiaľ nespomenul je kvadratúra kruhu, čo je otázka či sa dá zostrojiť štvorec s rovnakou plochou ako má zadaný kruh. To vedie na otázku, či je $\sqrt\pi$ skonštruovateľné. V tomto prípade sa negatívna odpoveď dostane iným spôsobom - ak vieme nejako dokázať že $\pi$ je transcendentné, tak to isté platí pre $\sqrt\pi$, a teda toto číslo naozaj nie je skonštruovateľné.

Pridám aj nejaké linky:

• Doubling the cube (Wikipédia)
• Angle trisection (Wikipédia)
• Squaring the circle (Wikipédia)
• Constructible number (Wikipédia)
• Straightedge and compass construction (Wikipédia)