Tri otázky k izomorfizmom.

[Dominika Harmanová]

Dobrý deň. Mala by som 3 otázky vzťahujúce sa na izomorfizmy.

1.Na str. 20 v skriptách máme uvedené vlastnosti grúp (resp ich prvkov), ktoré môžeme využiť na dôkaz neexistencie izomorfizmu medzi grupami. Jedným z nich je aj "existencia prvku spĺňajúca nejakú identitu". Tento bod mi nie je jasný. Prosím, mohli by sme si tento bod vysvetliť a ilustrovať na dvoch-troch prípadoch?

2.Na str. 22 máme vetu "Homomorfny obraz cyklickej grupy je cyklicka grupa". Zaujima ma, či tejto vete správne rozumiem. Mám pravdu, ak poviem, že nasledovná reformulácia je identickým tvrdením k našej vete?: "Majme zobrazenie z grupy A do grupy B. Nech je grupa A cyklická a nech zobrazenie z A do B je homomorfizmus. Potom grupa B je cyklická grupa". Alebo ešte inak: "homomorfizmus (a teda aj izomorfizmus) zachováva cyklickosť grupy".

3. Môžeme povedať, že f je izomorfizmom medzi okruhmi (R,+,*), (S,+,*) práve vtedy, ak f je izomorfizmom medzi grupami (R,+) a (S,+), a zároveň, f je izomorfizmom medzi pologrupami (R\0, *), (S\0, *)?

[Martin Sleziak]

1.Na str. 20 v skriptách máme uvedené vlastnosti grúp (resp ich prvkov), ktoré môžeme využiť na dôkaz neexistencie izomorfizmu medzi grupami. Jedným z nich je aj "existencia prvku spĺňajúca nejakú identitu". Tento bod mi nie je jasný. Prosím, mohli by sme si tento bod vysvetliť a ilustrovať na dvoch-troch prípadoch?

Toto som pridal do samostatného topicu: viewtopic.php?t=1541

2.Na str. 22 máme vetu "Homomorfny obraz cyklickej grupy je cyklicka grupa". Zaujima ma, či tejto vete správne rozumiem. Mám pravdu, ak poviem, že nasledovná reformulácia je identickým tvrdením k našej vete?: "Majme zobrazenie z grupy A do grupy B. Nech je grupa A cyklická a nech zobrazenie z A do B je homomorfizmus. Potom grupa B je cyklická grupa". Alebo ešte inak: "homomorfizmus (a teda aj izomorfizmus) zachováva cyklickosť grupy".

Ešte tam treba doplniť, že ide o surjektívne zobrazenie, potom to už je správne. T.j. vyzeralo by to takto:
"Majme zobrazenie z grupy A do grupy B. Nech je grupa A cyklická a nech zobrazenie z A do B je surjektívny homomorfizmus. Potom grupa B je cyklická grupa" resp. "surjektívny homomorfizmus (a teda aj izomorfizmus) zachováva cyklickosť grupy".

3. Môžeme povedať, že f je izomorfizmom medzi okruhmi (R,+,*), (S,+,*) práve vtedy, ak f je izomorfizmom medzi grupami (R,+) a (S,+), a zároveň, f je izomorfizmom medzi pologrupami (R\0, *), (S\0, *)?

Áno.
Síce som nedefinoval, čo je homomorfizmus (a izomorfizmus) pologrúp, ale asi je jasné, že homomorfizmom sa myslí podmienka $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$. (A izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus.)
Ak takto chápeme homomorfizmus pologrúp, tak definíciu okruhového homomorfizmu (izomorfizmu) môžeme skutočne preformulovať tak, ako ste napísali.