Izomorfizmy a identity

[Martin Sleziak]

1.Na str. 20 v skriptách máme uvedené vlastnosti grúp (resp ich prvkov), ktoré môžeme využiť na dôkaz neexistencie izomorfizmu medzi grupami. Jedným z nich je aj "existencia prvku spĺňajúca nejakú identitu". Tento bod mi nie je jasný. Prosím, mohli by sme si tento bod vysvetliť a ilustrovať na dvoch-troch prípadoch?

Pridám sem aj ako som to sformuloval v poznámkach:

Postup z predchádzajúceho príkladu je dosť často používaný v prípade, že chceme dokázať neexistenciu izomorfizmu medzi dvoma grupami. Nájdeme nejakú vlastnosť, ktorú izomorfizmy zachovávajú (invariant) a ukážeme, že jedna z grúp túto vlastnosť nemá. Z vlastností s ktorými sme sa doteraz stretli sa dajú použiť napríklad rád prvku, veľkosť grupy alebo jej podgrúp (v zmysle počtu prvkov alebo kardinality, existencia prvku spĺňajúceho nejakú identitu (ako napríklad $x*x=x$, $x^3=a^2$ alebo $x*y\ne y*x$ - existencia prvkov, ktoré nekomutujú), atď. Niektoré z týchto vlastností sa dajú použiť aj na dôkaz, že neexistuje (surjektívny) homomorfizmus z jednej grupy do druhej.

Majme grupu $(G,*)$, označme $e$ jej neutrálny prvok. Neviem, či "prvok spĺňajúci nejakú identitu" je úplne ideálna formulácia - snáď aspoň trochu popisuje čo sa tým myslí, ale myslel som tým podobné veci ako tie príklady v zátvorke.
Napíšem sem veľa príkladov - niektoré z nich sú skôr na ukázanie toho čo touto vlastnosťou myslím než že by nám reálne pomohli. (Ako obvykle, používame označenie $x^2=x*x$, $x^3=x*x*x$.)
\begin{gather*}
(\exists x\in G) x^3=e\\
(\exists x\in G) x^2=x\\
(\exists x\in G) x\ne e \land x^2=x \\
(\forall y\in G)(\exists x\in G) x^3=y \\
(\forall y\in G)(\exists x\in G) x^3=y^2 \\
(\forall y\in G)(\exists x\in G) x^2=y \\
(\forall x,y\in G) x*y=y*x \\
(\forall x,y\in G) x*y \ne y*x \\
(\forall a,b\in G)(\exists x\in G) a*x=b
\end{gather*}
Nie je moc ťažké si rozmyslieť, že tieto veci (a iné podobne vyzerajúce vlastnosti) sa nepokazia izomorfizmom. (Prinajmenšom by to mohlo byť jasné aspoň na inuitívnej úrovni, ak sa na izomorfizmus pozeráme tak, že je to tá istá operácia resp. rovnaká tabuľka, len inak pomenované prvky. Ale azda by sme zvládli napísať aj formálny dôkaz.)
Takisto by sme vedeli použiť okrem toho, že existuje $x$ s nejakou vlastnosťou aj niečo také, aký počet takých $x$-ov existuje.

Prinajmenšom niektoré z týchto vlastností by mohli byť veci, s ktorými sme sa už stretli, len inak zapísané.

Rády prvkov
Podmienka $(\exists x\in G) x^3=e$ je len ináč napísané, že v grupe existuje prvok rádu tri. Samozrejme, namiesto trojky môžeme použiť aj akékoľvek iné číslo.
Izomorfizmus zachováva rád prvku. Už sme videli, že toto sa dá použiť na dôkaz neexistencie izomorfizmu.
Napríklad $(\mathbb Z_4,\oplus)$ obsahuje prvok rádu štyri, v $(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2,\oplus)$ prvok rádu štyri nie je. Teda tieto grupy nie sú izomorfné.
Okrem existencie prvku nejakého rádu môžeme použiť napríklad aj počet prvkov daného rádu. (Ak v jednej grupe sú dva prvky rádu dva a v druhej grupe sú tri, tak tieto grupy nie sú izomorfné.)

Komutatívnosť
Medzi príkladmi som uviedol aj $(\forall x,y\in G) x*y=y*x$. To je len iný zápis toho, že grupa $G$ je komutatívna.
Komutatívnosť sa prenáša izomorfizmom.
Napríklad $(\mathbb Z_6,\oplus)$ a $(S_3,\circ)$ určite nie sú izomorfné - jedna z nich je komutatívna a druhá nie.

Veci čo platia v každej grupe
Nejakým podobným zápisom vieme zapísať aj veci z definície grupy (asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku, existencia inverzného prvku).
Aj medzi vecami, ktoré som vypísalo vyššie, sú nejaké veci čo platia v každej grupe, napríklad: $(\exists x\in G) x^2=x$ a $(\forall a,b\in G)(\exists x\in G) a*x=b$.
Takéto veci nám na podobný účel neposlúžia - určite nenájdeme grupu, kde by táto vlastnosť bola porušená.

Odmocnina, delenie.
Skúsme sa pozrieť na to, či vieme nejako rozlíšiť grupy $(\mathbb R^*,\cdot)$ a $(\mathbb R^+,\cdot)$. (Symbolom $\mathbb R^*$ označujem $\mathbb R\setminus\{0\}$. Symbol $\mathbb R^+$ znamená kladné reálne čísla.)
Neutrálny prvok je v oboch prípadoch jednotka.
Všimnime si, že v grupe $(\mathbb R^*,\cdot)$ máme dva prvky také, že $x^2=1$, ale v $(\mathbb R^+,\cdot)$ iba jeden. Tieto grupy teda vieme rozlíšiť, ak sa pozeráme na počet riešení $x^2=e$.

Aj ak sa pozrieme na iné prvky - nie iba neutrálny, tak v $(\mathbb R^+,\cdot)$ pre každý prvok $y$ nájdeme riešenie rovnice $x^2=y$. (Každý prvok má odmocninu.)
Teda táto podmienka nám pomôže rozlíšiť zadané grupy:
$$(\forall y\in G)(\exists x\in G) x^2=y$$

Môžete sa zamyslieť nad tým, či nejaké podobné úvahy vám pomôžu ukázať, že $(\mathbb Q,+)$ nie je izomorfná s grupami $(\mathbb Z,+)$, $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$.
Pridám linku na starší príklad presne o tomto: viewtopic.php?t=1252
A aj linku na Wikipédiu: Divisible group.