Úloha 3.2.10 a), b)

[MartinPasen]

a)
$A = \left[ {\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right]$
Jej charakteristický polynóm je $(-2-x)(1-x)^2$, čiže vlastné hodnoty sú 1 a -2.
Vlastné vektory sú ľahko uhádnuteľné :
$\vec{\alpha}_1 = \langle 1, -1/3, 0 \rangle$
$\vec{\alpha}_2 = \langle 0, 1, 0 \rangle$
$\vec{\alpha}_3 = \langle 0, 0, 1 \rangle$

A teda matica $P$ je
$P = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & -1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right]$

b)
$A = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0\\ -1 & -2 & -1\\ \end{array} } \right]$
Charakteristický polynóm tejto matice je $(1-x)(-1-x)^2-12-12(-1-x) + (-1-x) = x(-x^2-x+12)$.
Korene tochto polynómu (vlastné čísla tejto matice) sú 0,3 a -4.

Pomocou vlastných čísel dostávame rovnice pre vlastné vektory
pre 0:
$0 = x_1 +6x_2-1x_3$
$0 = 2x_1 -1x_2 -2x_3$
$0 = x_1 +0x_2-1x_3$
Z týchto rovníc dostávame, že $x_1 = x_3$ a $x_2=0$ a teda vlastný vektor môže byť $\vec{\alpha}_1 = \langle 1, 0, 1 \rangle$.

pre 3:
$0 = -2x_1 +6x_2-1x_3$
$0 = 2x_1 -4x_2 -2x_3$
$0 = x_1 +0x_2-4x_3$
Z týchto rovníc dostávame, že $x_1 = 4x_3$ a $x_2=-2/3x_3$ a teda vlastný vektor môže byť $\vec{\alpha}_1 = \langle 3, -8, 12 \rangle$.

pre -4:
$0 = 5x_1 +6x_2-1x_3$
$0 = 2x_1 +3x_2 -2x_3$
$0 = x_1 +0x_2+3x_3$
Z týchto rovníc dostávame, že $x_1 = -3x_3$ a $x_2=-8/3x_3$ a teda vlastný vektor môže byť $\vec{\alpha}_1 = \langle 9, -8, 3 \rangle$.

A teda matica $P$ môže byť
$P = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 3 & -8 & 12\\ 9 & -8 & 3\\ \end{array} } \right]$

[Martin Sleziak]

Poznámka k TeX-u. (Aj keď na fóre to nevadí, skôr je to dôležité vedieť, keď budete písať v TeX-u niečo dôležitejšie.)
Lepšie ako <0,1,0> to bude vyzerať s \langle a rangle. (A samozrejme na označenie usporiadanej n-tice sa používajú aj iné označenia.)

Code: Select all

$\langle 0,1,0\rangle$ $[0,1,0]$ $(0,1,0)$ vs $<0,1,0>$

$\langle 0,1,0\rangle$ $[0,1,0]$ $(0,1,0)$ vs $<0,1,0>$

determinant tejto matice je 0 a teda nemôže byť podobná žiadnej diagonálnej matici.

Takéto tvrdenie (že singulárna matica nemôže byť podobná s diagonálnou) asi nebude pravda - asi nie moc ťažko nájdete kontrapríklad na takéto tvrdenie.

[MartinPasen]

ďakujem, budem sa snažiť používať \rangle a \langle vyzerá to lepšie. Ohľadom správnosti riešenie taktiež ďakujem za napomenutie. Na cvičení sme spracovali s tým, že matica má rovnaký determinant ako matica jej podobná (ak existuje). Pod pojmom diagonálna matica som intuitívne rozumel regulárna diagonálna matica a tak som to spojil. Budem si na to davať pozor. ďakujem