Exercise 20.1 - reštrikcia $S_4$ na $D_8$

[Martin Sleziak]

Exercise 20.1. Let $G=S_4$ and let $H$ be the subgroup $\langle(1 2 3 4), (1 3)\rangle$ of $G$.
(a) Show that $H\cong D_8$.
(b) For each irreducible character $\chi$ of $G$ (given in Section 18.1), express $\chi\downarrow H$ as a sum of irreducible characters of $H$.$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Časť (a) by mala byť jasná, keďže obvykle reprezentujeme $D_8$ ako symetrie štvorca a permutácie $a=(1234)$, $b=(13)$ predstavujú rotáciu a osovú symetriu.

$D_8=\langle a,b; a^4=b^2=1, \inv bab=\inv a\rangle$

Triedy konjugácie: $\{1\}$, $\{a,a^3\}$, $\{a^2\}$, $\{b,a^2b\}$, $\{ab,a^3b\}$.

Tabuľky charakterov dihedrálnych grúp poznáme zo Section 18.3, s.183.

Konkrétne pre $D_8$ Example 16.3(3), kde bola odvodená na základe toho, že z Exercise 10.4 poznáme všetky ireducibilné reprezentácie tejto grupy.
$$
\begin{array}{cccccc}
& 1 & a^2 & a & b & ab \\\hline
\psi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\psi_2 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
\psi_3 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
\psi_4 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
\psi_5 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$$

Tabuľka charakterov grupy $G=S_4$ je (podľa toho, čo sme videli v Section 18.1):
$$
\begin{array}{cccccc}
& 1 & (12) & (123) & (12)(34) & (1234) \\\hline
\chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\
\chi_3 & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
\chi_4 & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\
\chi_5 & 3 & -1 & 0 & -1 & 1
\end{array}
$$

Ešte si všimnime, aký je vzťah medzi triedami konjugácie $H$ a $G$. Každá trieda konjugácie $G$ sa môže po prieniku s $H$ rozpadnúť na jednu alebo viac tried.
$a^H \subseteq (1234)^G$
$(a^2)^H \subseteq (12)(34)^G$
$b^H \subseteq (12)^G$
$(ab)^H \subseteq (12)(34)^G$ lebo $ab=(1234)(13)=(14)(23)$

Vidíme, že pre budeme vždy mať $\chi_i\downarrow H(a^2)=\chi_i\downarrow H(ab)$.

Pri lineárnych charakteroch nám stačí poznať $\chi_i\downarrow(a)$ a $\chi_i\downarrow(b)$; ostatné prvky už vieme doplniť, keďže lineárny charakter je homomorfizmus.

Z toho dostaneme
$$
\begin{array}{cccccc}
& 1 & a^2 & a & b & ab \\\hline
\chi_1\downarrow H & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2\downarrow H & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
\chi_3\downarrow H & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 \\
\chi_4\downarrow H & 3 & -1 & -1 & 1 & -1 \\
\chi_5\downarrow H & 3 & -1 & 1 & -1 & -1
\end{array}
$$
Vidíme, že $\chi_1\downarrow H=\psi_1$, $\chi_2\downarrow H=\psi_4$, $\chi_3\downarrow H=\psi_1+\psi_4$, $\chi_4\downarrow H=\psi_3+\psi_5$ a $\chi_5\downarrow H=\psi_2+\psi_5$.