Úloha 3.2.11 a), e)

[MartinPasen]

a)
$ A =
\left[ {\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{array} } \right]
$
Jej charakteristický polynóm je $x^2(-x+3)$ a vlastné hodnoty sú 3 a 0 (0 je algebraicky dvojnásobný).
Vlastné vektory sú napríklad:
$\vec{\alpha}_1 = \langle 1, 1, 1 \rangle$
$\vec{\alpha}_2 = \langle 1, -1, 0 \rangle$
$\vec{\alpha}_3 = \langle 1, 1, -2 \rangle$

$<\vec{\alpha}_2$ , $\vec{\alpha}_3> = 1-1+0 = 0$ čiže sú kolmé .$\vec{\alpha}_1$ patrí ku inému vlastnému číslu a teda je kolmý ku $\vec{\alpha}_2$ a $\vec{\alpha}_3$. Teda ich stačí iba normalizovať a teda $P$ je :
$ P =
\left[ {\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0\\
\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{-2}{\sqrt{6}}\\
\end{array} } \right]
$
e)
$ A =
\left[ {\begin{array}{cccc}
-1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 4\\
0 & 0 & 4 & -1\\
\end{array} } \right]
$
Keďže matica $A$ je rozdelená do dvoch blokov, kde každý blok pracuje nad inými súradnicami, môžeme túto úlohu riešiť ako osobitné dve menšie úlohy. Ľavý horný blok má charakteristický polynóm $x^2+2x -3$, vlastné hpdnoty 1 a -3 a vlastné vektory $\langle 1, 1 \rangle$ a $\langle 1, -1 \rangle$, rozšírené na náš problém na $\langle 1, 1, 0, 0 \rangle$ a $\langle 1, -1, 0, 0 \rangle$. Tieto vektory sú kolmé a tak stačí ich už iba normalizovať.
Pravý dolný blok má charakteristický polynóm $x^2+2x-15$, vlastneé čísla 3 a -5 a vlastné vektory $\langle 1, 1 \rangle$ a $\langle 1, -1 \rangle$, rozšírené na náš problém na $\langle 0, 0, 1, 1 \rangle$ a $\langle 0, 0, 1, -1 \rangle$.
Teda matica $P$ vyzerá nasledovne:
$ P =
\left[ {\begin{array}{cccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}}\\
\end{array} } \right]
$