Úloha 3.2.12

[MartinPasen]

sú matice $A$ a $B$ podobné ?
$ A =
\left[ {\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
0 & 2 & \dots & 0 & 0\\
0 & 0 & \dots & n-1 & 0\\
0 & 0 & \dots & 0 & n\\
\end{array} } \right]
B =
\left[ {\begin{array}{ccccc}
n & 0 & \dots & 0 & 0\\
0 & n-1 & \dots & 0 & 0\\
0 & 0 & \dots & 2 & 0\\
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
\end{array} } \right]
$
Obe matice ako zobrazenia robia to isté len s inými vektormi a preto jednoduchá zmena bázy (výmena poradia vektorov v báze) ukáže, že sú tieto matice podobné.
$ P = P^{-1} =
\left[ {\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
\end{array} } \right]
$
$PAP^{-1} =
\left[ {\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \dots & 0 & n\\
0 & 0 & \dots & n-1 & 0\\
0 & 2 & \dots & 0 & 0\\
1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
\end{array} } \right]
*
\left[ {\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
0 & 0 & \dots & 1 & 0\\
0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
\end{array} } \right]
=
\left[ {\begin{array}{ccccc}
n & 0 & \dots & 0 & 0\\
0 & n-1 & \dots & 0 & 0\\
0 & 0 & \dots & 2 & 0\\
0 & 0 & \dots & 0 & 1\\
\end{array} } \right]
=
B
$