Musí mať matica vždy vlastné číslo?

[Martin Sleziak]

Keďže som takúto otázku mailom a tiež to bolo treba použiť v bonusovej úlohe v PÚ, pozrime sa na niečo takéto.

Otázka Ak $A$ je štvorcová matica, bude určite mať nejaké vlastné číslo? Bude mať vlastný vektor?

Nad poľom $\mathbb C$.
Pozrime sa najprv na prípad $A\in M_{n,n}(\mathbb C)$.
Pripomeniem, že nad poľom $\mathbb C$ má každý nekonštantný polynóm koreň.
Tento výsledok sa nazýva Základná veta algebry. Spomenuli sme ho (bez dôkazu), keď sme sa kedysi učili o komplexných číslach. (Pole s takouto vlastnosťou sa volá algebraicky uzvreté pole.)
Základná veta algebry je spomenutá aj v knihe Korbaš-Gyurki - je to veta 13.14.

Takže potom vieme, že aj charakteristický polynóm $\chi_A(x)$ má aspoň jeden koreň $\lambda\in\mathbb C$. Z teórie z prednášky potom vieme povedať, že $\lambda$ je vlastná hodnota matice $A$. A tiež to, že k tejto vlastnej hodnote určite existuje vlastný vektor.

Nad poľom $\mathbb R$.
Situácia sa zmení ak sa pýtame, či matica má reálnu vlastnú hodnotu. Pozrime sa napríklad na maticu
$$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}.$$
Máme $\chi_A(x)=x^2+1$. Teda matica $A$ nemá reálne vlastné čísla. Ak sa však na ňu pozrieme nad poľom $\mathbb C$, dostaneme dve vlastné hodnoty $\pm i$.

Pripomeniem, že toto je vlastne matica otočenia o $\pi/2$ okolo počiatku súradnicovej sústavy v kladnom smere.
Ak si predstavíte, čo hovorí definícia vlastného vektora (a vlastnej hodnoty geometricky), tak by malo byť jasné že nenájdeme reálne vlastné číslo. (Neexistuje nenulový vektor v rovina taký, že jeho otočením o pravý uhol dostaneme jeho násobok.)

A vlastne takto to je vždy: Nad $\mathbb C$ určite máme vlastné čísla, nemusia ale nutne byť reálne.

Linky

Ako obvykle pridám aj nejakú linku: Do all square matrices have eigenvectors?

[Martin Sleziak]

Pokiaľ má nejaká matica vlastnú hodnotu, ktorú sme vypočítali cez charakteristický polynóm, no vlastný vektor vzhľadom k tejto vlastnej hodnote je nulový, znamená to, že daná matica túto vlastnú hodnotu teda nemá?

Ak Vám pre vlastnú hodnotu $\lambda$ vyšiel iba nulový vlastný vektor (t.j. homogénna sústava $(A-\lambda*I)^T$ nemá netriviálne riešenie), znamená to, že niekde je chyba:

• Ak je správne vyriešená sústava a naozaj máte iba nulové riešenie, tak to nie je vlastná hodnota. T.j. chyba je pri hľadaní charakteristického polynómu a jeho koreňov.
• Ak je charakteristický polynóm správne a lambda je skutočne jeho koreň, tak je chyba niekde v riešení sústavy resp. hľadaní vlastného vektora.

Z tohoto snáď trochu vidno, že vypočítať vlastné vektory môže byť užitočné aj ak to nie je potrebné na vyriešenie danej úlohy.
Dáva to vlastne čiastočnú skúšku správnosti na to, či korene ktoré ste našli sú skutočne vlastné čísla. (A teda ak sa vám podarilo nájsť vlastné vektory, viete aspoň to, že charakteristický polynóm máte zhruba správne - prinajhoršom ak je tam niekde chyba, tak správny polynóm musí mať takéto korene, možno aj nejaké ďalšie alebo sa môže líšiť násobnosťou.)

[Martin Sleziak]

Keďže na cvičení prišla reč na niečo takéto, tak spomeniem aj niečo k tomu, ako to je v iných priestoroch ako $\mathbb C^n$.

Takýto výsledok sme potrebovali v bonusovej prednáškovej úlohy iba pre nejaký špeciálny podpriestor v $\mathbb C^n$. Keď však platí všeobecne, asi je trochu elegantnejšie sformulovať ho pre ľubovoľný konečnorozmerný priestor nad $\mathbb C$.

Okrem toho je to užitočná ukážka toho, že niekedy môže fungovať niečo takéto: Nejakú vlastnosť poznáme pre $F^n$. (Vieme ju overiť ak počítame v súradniciach, pracujeme s maticami.) Potom ju vieme nejakou úvahou rozšíriť na ľubovoľný konečnorozmerný priestor nad $F$.

Tvrdenie. Nech $V$ je konečnorozmerný vektorový priestor nad $\mathbb C$ a nech $f\colon V\to V$ je lineárne zobrazenie. Potom existujú $\vec v\ne\vec0$ a $\lambda\in\mathbb C$ také, že $$f(\vec v)=\lambda\vec v.$$ (T.j. lineárna transformácia $f$ má vlastnú hodnotu a vlastný vektor.)

My už vieme, že toto tvrdenie platí pre $V=\mathbb C^n$. A otázka je, či z toho už vieme vydedukovať že to platí pre ľubovoľný konečnorozmerný vektorový priestor.

Menej formálne. Vieme, že $V\cong\mathbb C^n$, čiže $V$ je "v podstate to isté" ako $\mathbb C^n$. Keďže izomorfizmus nemení vlastnosti vektorových priestorov, tak toto tvrdenie platí aj pre priestor $V$.

Cez matice. Môžeme sa na zobrazenie $f$ pozrieť vo vhodnej báze a potom zistíme, že vlastne počítame s maticami a je to presne to čo poznáme. Zoberme si ľubovoľnú bázu $\vec b_1, \dots, \vec b_n$ priestoru $V$. Nech $A$ je matica zobrazenia $f$ vzhľadom na túto bázu. Potom existuje vlastný vektor $\vec x$ pre maticu $A$, máme $\vec xA =\lambda\vec x$. Zoberme si vektor $\vec v$, ktorého súradnice v tejto báze sú $(x_1,\dots,x_n)$, t.j.
$$\vec v=x_1\vec b_1+\dots+x_n\vec b_n.$$
Vieme, že $f(\vec v)$ má v tej istej báze súradnice $\vec xA=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)$ a teda
$$f(\vec v)=\lambda(x_1\vec b_1+\dots+x_n\vec b_n)=\lambda\vec v.$$

Cez izomorfizmus. Situáciu môžeme previesť cez izomorfizmus do $\mathbb C^n$. Vieme, že existuje nejaký izomorfizmus $\varphi\colon V \to \mathbb C^n$. Potom aj $\varphi^{-1}\colon \mathbb C^n\to V$ je izomorfizmus. Máme teda takúto situáciu:
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
V @>{f}>> V\\
@A{\varphi^{-1}}AA @V{\varphi}VV \\
F^n @>{g}>> F^n
\end{CD}$$
Vieme teda z týchto zobrazení poskladať lineárne zobrazenie $g\colon F^n \to F^n$. O zobrazení $g$ vieme, že má nejaký vlastný vektor $\vec x$. (Vieme, že tvrdenie platí pre lineárne zobrazenia $\mathbb C^n \to \mathbb C^n$.) Teda
$$g(\vec x)=\lambda\vec x.$$
Teraz už stačí tento vlastný vektor preniesť cez izomorfizmus do $V$. Zoberme $\vec v=\varphi^{-1}(\vec x)$. Stačí už skontrolovať, že $\vec v$ je skutočne vlastný vektor pre $f$. Máme
$$\varphi(f(\vec v))=\varphi(f(\varphi^{-1}(\vec x)))=g(\vec x)=\lambda\vec x=\lambda\varphi(\vec v)=\varphi(\lambda\vec v).$$
Ak na obe strany aplikujeme $\varphi^{-1}$, dostaneme
$$f(\vec v)=\lambda\vec v.$$