Exercise 12.4 - kedy $x^{A_6}\ne x^{S_6}$?

[Martin Sleziak]

Exercise 12.4. What are the cycle-shapes of those permutations $x \in A_6$ for which $x^{A_6}\ne x^{S_6}$.

Teda máme vlastne nájsť také permutácie v $A_6$, ktoré nekomutujú so žiadnou nepárnou permutáciou.

$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
& \text{komutuje s} \\\hline
(12)(34) & (56) \\\hline
(123) & (56) \\\hline
(1234)(56) & (56) \\\hline
(123)(456) & (14)(25)(36) \\\hline
\end{array}
$

Ak konjugujeme $(12345)$, dostaneme $(1g,2g,3g,4g,5g)$. Aby platilo $(1g,2g,3g,4g,5g)=(12345)$, tak $g=(12345)^k$ pre nejaké $k$.

Zistili sme, že permutácie, ktoré nekomutujú so žiadnou nepárnou permutáciou sú 5-cykly.

Preto triedy konjugácie v $A_6$ sú reprezentované prvkami $(12)(34)$, $(123)$, $(1234)(56)$, $(123)(456)$, $(12345)$ a $(12)(12345)$; s výnimkou posledných dvoch sú totožné s triedami konjugácie grupy $S_6$.