Podgrupa indexu 2 je normalna

[Martin Sleziak]

4. Ak $H$ je podgrupa $G$ a $[G:H]=2$, tak $H$ je normálna podgrupa. Navyše, pre každý prvok $x\in G\setminus H$ platí $x^2\in H$.

Hint k 1. casti: Jedna z ekvivalentnych charakterizacii normalnej podgrupy bola: Lavy a pravy rozklad sa rovnaju, t.j. $\{aH; a\in G\}=\{Ha; a\in G\}$.

Hint k 2. casti: Co vieme povedat o rade prvku $xH$ vo faktorovej grupe $G/H$?

(Urcite to nie je jedina moznost ako riesit tuto ulohu; ale riesenie, ku ktoremu vedu tieto 2 hinty, sa mne zda pomerne elegantne.)

[Martin Sleziak]

Pridám ešte zopár liniek:

• Given $G$ group and $H \le G$ such that $|G:H|=2$, how does $x^2 \in H$ for every $x \in G$?
• if $H \leq G$ has index 2, then $a^2\in H$ for every $a\in G$
• Subgroup of Index 2 is Normal

A nejaký alternatívny hint k druhej časti úlohy: Predpokladajme $x^2\notin H$. Vieme z toho dostať, že $x^2\in xH$? Čo vieme dostať z tejto podmienky?

[Martin Sleziak]

Mnohým z vás určite budú hinty, ktoré som napísal vyššie stačiť.
Napíšem to tu o čosi podrobnejšie.

Je to normálna grupa:

Spoiler:

Ľavý rozklad obsahuje práve dve triedy, jedna z nich je $H$. Teda rozklad musí byť $\{H,G\setminus H\}$.
Presne to isté môžeme povedať o pravom rozklade. Tiež to musí byť $\{H,G\setminus H\}$.

Ak sa ľavý a pravý rozklad rovnajú, tak to je normálna grupa. (Toto je jedna z ekvivalentných podmienok v definícii normálnej grupy.)

Dôkaz $x^2\in H$ pomocou faktorovej grupy:

Spoiler:

Faktorová grupa $G/H$ má dva prvky, teda každý jej prvok má rád nanajvýš dva a platí preň, že druhá mocnina má neutrálny prvok.
Teda pre ľubovoľnú triedu $xH$ máme: $$(xH)^2=eH.$$
Čo je to isté ako $$(x^2)H=eH.$$
Zistili sme, že trieda prvku $x^2$ je $H$. Toto ale znamená, že $x^2$ patrí do $H$.

Dôkaz $x^2\in H$ ešte inak.

Spoiler:

Prepokladajme, že by platilo $x^2\notin H$.

Potom musí platiť aj $x\notin H$. To znamená, že $xH\ne H$, rozklad $G$ podľa $H$ môžeme napísať ako $\{H,xH\}$.

Ak $x^2$ nepatrí do $H$, tak musí patriť do tej druhej triedy rozkladu, a teda $$x^2\in xH.$$
Toto ale znamená, že pre nejaké $h\in H$ platí rovnosť $$x^2=xh$$.
Z nej však hneď dostávame $x=h$, čiže $x\in H$, čo je spor.