Podgrupy v $\mathbb Z_{12}$

[Martin Sleziak]

Zadanie

Budeme pracovať s grupou $G=(\mathbb Z_{12},+)$. (T.j. $G=\{0,1,2,\dots,11\}$ so sčitovaním modulo $12$.)
Pre zadané podmnožiny $H_{1,2}\subseteq G$ zistite, či ide o~podgrupy grupy $G$. (Svoju odpoveď zdôvodnite.)

Skupina A:
$$\begin{gather*} H_1=\{0,3,6,9\}\\ H_2=\{0,1,2,3\} \end{gather*}$$

Skupina B:
$$\begin{gather*} H_1=\{0,2,4,6,8,10\}\\ H_2=\{0,1,2\} \end{gather*}$$


Skupina C:
$$\begin{gather*} H_1=\{0,4,8\}\\ H_2=\{0,1\} \end{gather*}$$


Skupina D:
$$\begin{gather*} H_1=\{0,6\}\\ H_2=\{0,1,2,3,4,5\} \end{gather*}$$

Prečo tieto úlohy:
Chcel som, aby ste si uvedomili napríklad toto:

• Operácia na podgrupe musí byť rovnaká ako v celej grupe, len zúžená. (T.j. napríklad $\{0,1,2,3\}$ tvorí grupu s operáciou $+_4$. My sa však pýtame na podgrupu $\mathbb Z_{12}$, takže sa musíme pýtať, čo sa stane pri operácii $+_{12}$.)
• Pre konečnú podmnožinu stačí overiť uzavretosť na operáciu. (Uzavretosť na inverzný prvok už musí vyjsť - robili sme na cvičení, úloha 1.4.6(1) v LAG1.)

[Martin Sleziak]

Riešenie

V oboch skupinách je odpoveď, že $H_1$ je podgrupa, $H_2$ nie je.

Pozrime sa napríklad na skupinu A:
$$\begin{gather*} H_1=\{0,2,4,6,8,10\}\\ H_2=\{0,1,2\} \end{gather*}$$

$H_2$ nie je podgrupa, keďže $1,2\in H_2$ ale $1+2=3\notin H_2$. Alebo tiež $1\in H_2$, ale $-1=11\notin H_2$.

Pre $H_1$ chceme overiť, že to je podgrupa.
$H_1$ je evidentne neprázdna. Chceme skontrolovať, či množina $H_1$ je uzavretá vzhľadom na operáciu $+$.
T.j. pre ľubovoľné dva prvky $a$, $b$ z $H_1$ chceme skontrolovať, že $a+b\in H_1$.
Môžeme to urobiť napríklad tak, že prejdeme všetky možnosti
$$\begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 &10 \\\hline 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 &10 \\ 2 & 2 & 4 & 6 & 8 &10 & 0 \\ 4 & 4 & 6 & 8 &10 & 0 & 2 \\ 6 & 6 & 8 &10 & 0 & 2 & 4 \\ 8 & 8 &10 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 10 &10 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \end{array}$$
Alebo si rozmyslíme, že v $H_1$ sú iba párne čísla.
Ak sčítam dve párne čísla, dostanem opäť párne číslo.
Ak počítam modulo $12$, paritu to neovplyvní. (Ak urobím zvyšok nejakého po delení $12$, tak som od neho odčítal nejaký násobok 12-ky. Teda som odčítal párne číslo, čo znamená, že som neovplyvnil paritu.)

Teraz sa môžem odvolať na to, že $H_1$ je konečná a stačí mi teda overiť uzavretosť na binárnu operáciu.
Ale ak sa nechcem odvolávať na nejaký výsledok, ktorý sme si ukázali iba na cvičení, tak môžem jednoducho skontrolovať, či ku každému prvku mám inverzný: $-0=0$, $-2=10$, $-4=8$, $-6=6$, $-8=4$, $-10=2$.
Opäť, nemuseli by som ich po jednom vypisovať: S výnimkou nuly sa dá inverz v $Z_{12}$ k prvku $a$ vyjadriť ako $12-a$. Ak $a$ je párne, tak aj $12-a$ je párne.

Mohli sme samozrejme použiť aj druhú verziu kritéria podgrupy a kontrolovať, či pre $a,b\in H_1$ platí aj $a-b\in H_1$.

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v riešeniach
Body som na to nestŕhal - ale ak ste overili iba uzavretosť na binárnu operáciu (a nie na inverzné prvky), tak by som čakal, že to nejako okomentujete. (Aby som videl, že ste si vedomí, že takto to funguje iba ak $H$ je konečná množina.)

Viacerí ste použili argument, že mám párne čísla a ich súčet je opäť párne číslo - čakal som tam ale trochu aj niečo k tomu, že to funguje aj ak sčitujem modulo 12 (t.j. nie obvyklé sčitovanie).

Pri skúšaní, či súčet prvkov z $H_1$ je opäť z $H_1$, ste niektorí zabudli na takú možnosť, že oba prvky vezmeme rovnaké. (Ak mám v podmienke $a,b\in H$ $\Rightarrow$ $a+b\in H$ nejaké prvky $a$, $b$ označené rôznymi písmenami, stále to zahŕňa aj tú možnosť, že $a$ i $b$ je ten istý prvok.)

V niektorých odovzdaných riešeniach ste vypísali tabuľku $H_2$ nie s operáciou zdedenou zo $\mathbb Z_{12}$, ale takú, na akú sme zvyknutí. (V závislosti od skupiny, sčitovanie modulo $2$, $3$, $4$ alebo $6$.)