Videá s prednáškami

[Martin Sleziak]

Počas prerušenia prezenčnej výuky budem v tomto vlákne postupne zverejňovať linky na videá k prednáške - v týchto videách sa budem snažiť porozprávať zhruba to, čo by som hovoril reálne na prednáške. (A nejaké sem pridám nejaké ďalšie komentáre k jednotlivým častiam.)
Detailnejší pokec k tomu, ako bude teraz prebiehať výuka tohoto predmetu, nájdete tu: viewtopic.php?t=1587

Videá sa by mali byť k dispozícii vo formátoch mkv aj mp4. Formát mp4 by mal fungovať vo väčšine bežných prehrávačov, ak budete mať problém s formátom mkv, ten by mal prehrať napríklad VLC media player. (Robím to tak časti aj preto, že keď dám k dispozícii viacero formátov, tak je väčšia šanca, že vám pôjde prehrať aspoň niektorý z nich.)

Videá budem zverejňovať zatiaľ na mojej stránke. Okrem toho videá vo formáte mp4 budem dávať na Google Drive: https://drive.google.com/drive/folders/ ... sp=sharing (Tu by ste si ich mohli pozrieť aj bez toho aby ste si ich museli stiahnuť.)
Ak som vo videách niečo písal na "tabuľu" alebo používal slajdy, tak to tiež zazdieľam na stránke a v Google Drive.

Linky na stiahnutie jednotlivých videí sa dajú nájsť aj tu: http://msleziak.com/vid/tc1_2020/

Dajte mi vedieť, ak by ste si všimli, že s niektorým videom je nejaký problém. (Napríklad nefunguje linka, odseknutá nejaká časť a pod.)

Videá nebudem robiť tak, aby každé bolo presne 90 minút - čo by zodpovedalo dvojhodinovke, ktorú máme v rozvrhu - ale budem sa ich snažiť robiť tak, aby v jednom videu bola vždy nejaká ucelená téma. (Keď máme prednášku v štandardnom čase vždy 90 minút, tak sa často stane, že nejakú tému načnem jeden týždeň a dokončím ju v priebehu toho ďalšieho.)

Ak sa rozhodneme, že je lepšie prejsť na systém, že ne prednášky sa budeme stretávať v MS Teams, tak prednášky budú vyzerať podobne ako to čo vidíte v týchto videách (t.j. namiesto tabule budem používať tablet a niekedy použijem slajdy). Aj ak by sme fungovali cez MS Teams, tak tiež budeme prednášky pravdepodobne nahrávať - ale nahrávky už nebudem takto dávať na stránku, nájdete ich cez MS Teams.

[Martin Sleziak]

Deliteľnosť
(Toto sú veci, ktoré odzneli na prednáškach ešte počas prezenčnej výuky.)

Slajdy a "tabuľa": 01delit.pdf a 01delit.zip

• 01delit_01zaklad.mkv a 01delit_01zaklad.mp4: Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti.
• 01delit_02zvysok.mkv a 01delit_02zvysok.mp4: Dôkaz vety o delení so zvyškom.
• 01delit_03nsd.mkv a 01delit_03nsd.mp4: Najväčší spoločný deliteľ a jeho základné vlastnosti.
• 01delit_04euklid.mkv a 01delit_04euklid.mp4: Rozšírený Euklidov algoritmus.

[Martin Sleziak]

Prvočísla.
Nejaké základné veci k prvočíslam, dôkaz základnej vety aritmetiky - k tomuto video spravené nemám, ale sú to veci, ktoré odzneli na prednáške ešte v čase, keď bežala prezenčná výuka.

[Martin Sleziak]

Rad prevrátených hodnôt prvočísel konverguje.

Veci ktoré som písal: 03recip.zip

• 03recip_dokaz1.mkv a 03recip_dokaz1.mp4: Čísla bez štvorcov, jeden dôkaz, niečo o radoch.
• 03recip_dokaz23.mkv a 03recip_dokaz23.mp4: Ďalšie dva dôkazy.

Tri dôkazy, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje.
V prvom videu som strávil nejaký čas aj s tým, že na konvergenciu/divergenciu radu $\sum_{a\in A} \frac1a$ sa dá pozerať ako na nejaký typ kritéria, ktorý mi hovorí či podmnožina $A\subseteq\mathbb N$ je malá/veľká. A pritom som sa zastavil aj trochu pri radoch $\sum\frac1n$ a $\sum\frac1{n^2}$.
Pridám aj súvisiace linky: viewtopic.php?t=1585 a viewtopic.php?t=65

[Martin Sleziak]

Prvočíselná funkcia.
Prvočíselná funkcia, prvočíselná veta. Čebyševove nerovnosti. Odhad na $n$-té prvočíslo.

Slajdy a veci písané rukou: 04pi.pdf a 04pi.zip

Videá:

• 04pi_01pnt.mkv 04pi_01pnt.mp4 - prvočíselná funkcia a prvočíselná veta
• 04pi_02nerovnosti.mkv a 04pi_02nerovnosti.mp4 - Čebyševove nerovnosti
• 04pi_03pn.mkv a 04pi_03pn.mp4 - $n$-té prvočíslo

Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$. (Nerobil som časť o funkciách $\operatorname{li}(x)$ a $\operatorname{Li}(x)$.)
Prvočíselnú vetu som povedal bez dôkazu. Tu na matfyze sa s jej dôkazom môžete stretnúť napríklad na predmete Vybrané kapitoly z teórie funkcií komplexnej premennej v magisterskom štúdiu.
Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.

Nerobil som časť o vzťahu prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie $\vartheta$. (Ak náhodou budem mať čas, možno sa k tomu vrátim a nahrám aj toto video. Ale čo sa týka skúšky, berte to tak, že to nebolo odprednášané a teda sa to neskúša - aj v prípade, že si neskôr nájdem čas toto video doplniť.)

[Martin Sleziak]

Bertrandov postulát.

Slajdy a tabuľa: 05bertrand.mkv a 05bertrand.mp4
Video: 05bertrand.pdf a 05bertrand.zip

Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát. Približne rovnaký dôkaz (s odchýlkami v niektorých detailoch) sa dá nájsť aj na Wikipédii: Proof of Bertrand's postulate.

[Martin Sleziak]

Kongruencie:
"Tabuľa" a slajdy: 311kong.zip a 31kong.pdf
Video: 311kong.mkv a 311kong.mp4

Kongruencie. Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)
Dokázal som aj nutné podmienky pre prvočíselné delitele Mersenových a Fermatových čísiel - tvrdenie 3.1.15 (ak $q\mid 2^p-1$, tak $p\mid q-1$) a vetu 3.3.11 (ak $p\mid 2^{2^m}+1$, tak $p=k2^{m+1}+1$).
Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami/ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.) Toto celé vlastne súvisí s faktorizáciou (faktorovými grupami, okruhmi, a pod.)

[Martin Sleziak]

Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Vyriešili sme aj jeden konkrétny príklad a na ňom zopakovali aj rozšírený Euklidov algoritmus. (Ukázali sme si aj zápis Euklidovho algoritmu pomocou tabuľky. Dá sa nájsť v poznámkach k prednáške, ale je o ňom niečo aj tu na fóre.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si aj konkrétny príklad.

"Tabuľa" a slajdy: 312linkong.zip, 313cvz.zip a 31kong.pdf
Video:
312linkong.mkv a 312linkong.mp4
313cvz.mkv a 313cvz.mp4

[Martin Sleziak]

Multiplikatívne funkcie, $d(n)$, $\sigma(n)$
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna.
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. Niečo o nepárnych dokonalých číslach.
Nejaké veci o tom, ako sa funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$ správajú pre veľké $n$.

Video: 32multip.mkv a 32multip.mp4
Slajdy a "tabuľa": 32multip.pdf a 32multip.zip

[Martin Sleziak]

Lagrangeova a Wilsonova veta
Lagrangeova veta. Ukázali sme si, ako Lagrangeova veta vyplýva z toho, že nad ľubovoľným poľom má polynóm stupňa $n$ nanajvýš $n$ koreňov. Niečo k tomu sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=1349
My sme si pripomenuli dôkaz pomocou delenia so zvyškom a aj dôkaz pomocov Vandermodovej matice.
Wilsonova veta. Ukázali sme viacerými spôsobmi Wilsonovu vetu. Jeden dôkaz bol založený na Lagrangeovej vete, druhý využíval multiplikatívnu grupu poľa $\mathbb Z_p$. Urobili sme aj kombinatorický dôkaz, kde sme počítali usporiadaná rozklady $n$-prvkovej množiny na $k$ podmnožín.

Video: 34wilson.mkv a 34wilson.mp4
Slajdy a tabuľa: 34wilson.pdf a 34wilson.zip