Sú $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ podpriestory?

[Martin Sleziak]

Mali sme zadané nejaké množiny $S, T\subseteq \mathbb R^3$ a úlohou bolo zistiť, či tieto množiny, ich prienik a ich zjednotenie sú podpriestory.
Vo všetkých skupinách je $S$ podpriestor a overenie je veľmi jednoduché, podobné veci sme viackrát robili. Takže nebudem k tejto časti písať detailné riešenie. (Navyše zanedlho budeme mať všeobecnejšiu vetu, že pre ľubovoľný homogénny systém lineárnych rovníc je množina riešení podpriestor.)

Napíšem niečo k ostatným častiam.
Najnáročnejšie asi bolo nájsť ako presne vyzerá prienik $S\cap T$; aj keď to je skôr asi precvičenie vecí zo strednej školy než cvičenie na to, čo sme preberali na tomto predmete.
Množiny $T$ aj $S\cup T$ s výnimkou jednej skupiny nie sú podpriestory, tam stačilo nájsť vhodné vektory, aby sme ukázali, že tieto množiny nespĺňajú kritérium vektorového podpriestoru.

Skupina A

Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)

Riešenie. $S$ je podpriestor.

$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(4,2,0)\\
\vec a+\vec b&=(5,3,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.

Ako vyzerajú vektory, ktoré patria do $S\cap T$. T.j. pýtame sa na množinu riešení sústavy
\begin{align*}
x+y+z&=0\\
x&=y^2\\
z&=0
\end{align*}
Ak dosadíme ostatné rovnice do prvej, tak dostaneme $y^2+y=0$, čo znamená, že $y(y+1)=0$, čiže $y=0$ alebo $y=-1$, a teda
$$S\cap T=\{(1,-1,0),(0,0,0)\}.$$
Ľahko skontrolujeme, že to nie je podpriestor, napríklad $2(1,-1,0)\notin S\cap T$, pričom $(1,-1,0)\in S\cap T$.


Skupina B

Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2, z=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)

Riešenie. $S$ je podpriestor.

$S$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(1,-1,0)\\
\vec a+\vec b&=(2,0,0)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.

Pozrime sa na to, aké vektory patria do prieniku.
Zo rovností $z=0$ a $x+y-z=0$ dostávame $x+y=0$, t.j $x=-y$.
Každý vektor, kde $x=-y$ súčasne spĺňa aj $x^2=y^2$.
Teda vidíme, že
$$S\cap T=\{(x,y,0)\in\mathbb R^3; x+y=0\}=
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x+y=0, z=0\}.$$
Pre túto množinu ľahko skontrolujeme, že to je naozaj podpriestor.

Skupina C

Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y+z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2+y^2=0\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)

Riešenie. $S$ je podpriestor.

Pre reálne čísla z $x^2+y^2=0$ vyplýva $x=y=0$. Teda vlastne máme
$$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x=y=0\}=\{(0,0,t); t\in\mathbb R\},$$
a $T$ tiež je podpriestor.

Množina $S\cap T$ je podpriestor - vieme, že prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor. (Tu to dokonca vyjde nulový podpriestor.)

Množina $S\cup T$ nie je podpriestor. (Dokonca sme sa stretli s tým, že zjednotenie dvoch podpriestorov je opäť podpriestor p.v.k. $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$. Ak si dobre pamätám, stihli sme na výberovom cviku dokázať niečo podobné pre podgrupy, ale overenie pre podpriestory by bolo skoro rovnaké.)
Ľahko nájdeme nejaké vektory také, že oba patria do $S\cup T$, ale ich súčet tam už nepatrí. Napríklad
\begin{align*}
\vec a&=(1,1,0)\\
\vec b&=(0,0,1)\\
\vec a+\vec b&=(1,1,1)
\end{align*}


Skupina D

Máme dané množiny
\begin{align*}
S&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x-y-z=0\},\\
T&=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2=z^2\}.
\end{align*}
Zistite, či $S$, $T$, $S\cap T$, $S\cup T$ sú podpriestory priestoru $\mathbb R^3$. (Svoje tvrdenie zdôvodnite!)

Riešenie. $S$ je podpriestor.

$T$ ani $S\cup T$ nie sú podpriestory, pre vektory
\begin{align*}
\vec a&=(-1,-1,0)\\
\vec b&=(1,1,1)\\
\vec a+\vec b&=(0,0,1)
\end{align*}
platí, že $\vec a,\vec b\in T$, ale $\vec a+\vec b\notin T$. A tiež $\vec a,\vec b\in S\cup T$, ale $\vec a+\vec b\notin S\cup T$.

Ak sa nám podarí nejako presvedčiť, že $$S\cap T=\{(0,0,0)\},$$ tak vidíme, že prienik je podpriestor.
To sa dá zdôvodniť rôznymi spôsobmi.
Napríklad z rovnice $x-y-z=0$ dostávame $$x=y+z.$$
Súčasne z $y^2=z^2$ dostaneme $y^2-z^2=0$, čo znamená, že
$$x(y-z)=(y+z)(y-z)=0,$$
teda pre každý vektor z prieniku máme $x=0$ alebo $y-z=0$.

Ak $x=0$, tak dostaneme $y^2=z^2=0$, a teda aj $y=z=0$.

Ak $y=z$, tak dostaneme $x=2y$. Z rovnosti $x^2=y^2$ potom máme $4y^2=y^2$. Z toho už dostávame $y^2=0$ a aj $y=0$. A zo $z=y$ a $x=2y$ dostaneme, že aj ostatné súradnice sú nulové.

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytovali:

Ak chcem overiť, či $S$ spĺňa kritérium podpriestoru, tak by som mal skontrolovať či dané podmienky platia pre ľubovoľné vektory z $S$. Vyskúšať to pre niekoľko konkrétnych vektorov nestačí ako zdôvodnenie, že tá istá podmienka platí pre všetky vektory z $S$.

V skupine B sa vyskytlo takéto (nesprávne) zdôvodnenie, že $$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2=0\}$$ nie je podpriestor

Ak $(x,y,z),(a,b,c)\in T$, tak máme $x^2+y^2=a^2+b^2=0$.
Pre súčet týchto vektorov $(x+a,y+b,z+c)$ dostaneme
\begin{align*}
(x+a)^2+(y+b)^2
&=x^2+2ax+a^2+y^2+2yb+b^2\\
&=(x^2+y^2)+(a^2+b^2)+2ax+2by\\
&=2ax+2by \ne 0
\end{align*}

Je síce pravda, že $2ax+2by$ sa nemusí rovnať nule, ak za $a$, $b$, $x$, $y$ dosadzujeme ľubovoľné reálne čísla.
V našom prípade sa však pozeráme iba na príklad, keď $(x,y,z)$ aj $(a,b,c)$ sú vektory z $T$. Vtedy platí $x=y=0$, $a=b=0$, čiže výraz $2ax+2by$ pre takéto čísla v skutočnosti bude nulový.

Pri grupách, okruhoch, podpriestoroch sa často vyskytovali príklady, kde bolo treba urobiť niečo takéhoto typu - t.j. overiť nejakú podmienku, ktorá vlastne vedie na overenie nejakej rovnosti.
Viackrát som spomenul, že je dobré skúsiť nájsť aj konkrétny kontrapríklad, ak tvrdím, že nejaká vlastnosť neplatí. Toto snáď ukazuje celkom dobre, prečo sa to oplatí vyskúšať.
Môže sa nám stať - tak ako v tomto prípade - že ľavú a pravú stranu sme upravili na výrazy, ktoré vyzerajú rôzne. Ale stále sa môže stať to, že sú to rôzne výrazy, ale pre prvky z našej množiny sa zhodujú. (V tomto prípade pre ľubovoľné vektory z $T$ dostávame, že $2ax+2by=0$.)

Toto sa vyskytlo tiež v riešení z tej istej skupiny a tiež sa to týka $$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3; x^2=y^2=0\}.$$

$\vec v_1=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec v_2=(x_2,y_2,z_2)$
\begin{align*}
x_1^2+y_1^2&=0\\
x_2^2+y_2^2&=0\\
x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2&=0
\end{align*}

To čo je tu napísané je síce pravda - ale určite to nie je zdôvodnenie, že $\vec v_1+\vec v_2\in T$.

Ak chceme overiť, či $\vec v_1+\vec v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ patrí do $T$, tak sa pýtame na inú rovnosť, konkrétne
$$(x_1+x_2)+(y_1+y_2)^2=0.$$