Videá s prednáškami

[Martin Sleziak]

Konvergencia postupností$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady, jednoznačnosť v hausdorffovských priestoroch. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Postupnosti a uzavretosť. Limita postupnosti prvkov z $A$ patrí do $\overline A$, uzavretá množina je sekvenciálne uzavretá. V priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti platí obrátená implikácia v oboch týchto tvrdeniach. (A neskôr sa dostaneme k tomu, že pre ak postupnosti nahradíme sieťami, tak už budeme mať ekvivalenciu v ľubovoľnom topologickom priestore.)
Spomenuli sme, že tieto podmienky vlastne popisujú Fréchetove-Urysohnove a sekvenciálne priestory - aj keď my sa týmito triedami priestorov nebudeme zaoberať.
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Spojitosť a sekvenciálna spojitosť. Spojité zobrazenie je sekvenciálne spojité, obrátená implikácia platí v priestoroch spĺňajúcich prvú axiómu spočítateľnosti.
Hromadné body a podpostupnosti. Len sme ich zadefinovali a bez dôkazu spomenuli ako súvisia.
Kontrapríklady. Ukázali sme, že vo všeobecnosti neplatia tvrdenia, ktoré sme dostali pre priestory vyhovujúce prvej axióme spočítateľnosti.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka)
Iný kontrapríklad môžeme dostať pre topológiu odvodenú od usporiadania na $\omega_1+1$, kde $\omega_1$ označuje prvý nespočítateľný ordinál. (Tento kontrapríklad vyžaduje vedieť nejaké základné veci o dobre usporiadaných množinách - a dá sa v princípe bez problémov aj preskočiť.)

Slajdy a tabuľa: 06konver01post.pdf a 06konver01post.zip
Video: 06konver01post01.mkv a 06konver01post01.mp4
Kontrapríklad s $\{0,1\}^{\R}$: 06konver01post02.mkv a 06konver01post02.mp4
Kontrapríklad s $\omega_1+1$: 06konver01post03.mkv a 06konver01post03.mp4

[Martin Sleziak]

Konvergencia sietí

Definícia nahor usmernenej množina.
Definícia siete a limity siete. Limita siete a subbáza, Sieť $(x_U)_{U\in\mathcal B_a}$.
Charakterizácia uzáveru a uzavretej množiny pomocou sietí. (Limity sietí jednoznačne určujú topológiu.
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí.
Siete a priestor $C(D)$. Charakterizácia spojitosti pomocou sietí.
Konvergencia sietí v iniciálnej topológii. Konvergencia v topologickom súčine je bodová konvergencia.
Riemannov integrál ako príklad limity siete.
Podsiete: Definícia, súvis s priestorom $C(D)$, hromadné body siete a ich charakterizácia.

"Tabuľa": 06konver02siete.zip
Videá:
06konver02siete1.mkv a 06konver02siete1.mp4
06konver02siete2.mkv a 06konver02siete2.mp4
06konver02siete3.mkv a 06konver02siete3.mp4
(Prvé dve videá sú o sieťach, tretie je o podsieťach.)

[Martin Sleziak]

Filtre a ultrafiltre
Základné fakty o filtroch.
Definícia filtra. Príklady: Kofinitný filter, filter okolí bodu.
Báza filtra - definícia a ako vyzerá zodpovedajúci filter. Báza filtra odvodená od nahor usmernenej množiny.
Ultrafitre.
Definícia ultrafiltra. Ultrafilter = maximálny filter (vzhľadom na inklúziu).
Hlavný ultrafilter. Voľný filter.
Centrovaný systém. Dôkaz, že každý centrovaný systém je obsiahnutý v nejakom ultrafiltri. (Tzv. ultrafilter lemma. Dôkaz sme robili pomocou Zornovej lemy.)

Video: 06konver03filt.mkv a 06konver03filt.mp4
Tabuľa: 06konver03filt.zip

[Martin Sleziak]

F-limita
Definícia F-limity, porovnanie s definíciou limity postupnosti.
V definícii stačí brať množiny subbázy. Porovnanie s limitou jemnejšieho filtra.
Charakterizácia F-limity pomocou priestoru $C(\mathcal F)$. Priestor $C(\mathcal F)$ sme tiež použili ukážku na to, že kofinálne siete nestačia na charakterizáciu hromadných bodov.
Špeciálne prípady: Limity sietí, jednostranná limita reálnej funkcie.

Konvergencia filtrov
Definícia limity filtra na $X$, vzťah s F-limitou.
Popis uzáveru, spojitosti, hausdorffovskosti pomocou filtrov. Iniciálna (súčinová) topológia a konvergencia filtrov.
Hromadný bod filtra - definícia a základné vlastnosti.

Video: 06konver04flim.mkv a 06konver04flim.mp4
Tabuľa: 06konver04flim.zip
Video: 06konver05filtlim.mkv a 06konver05filtlim.mp4
Tabuľa: 06konver05filtlim.zip

Okrem toho som pridal ešte krátke porovnanie troch typov konvergencie, ktorými sme sa zaoberali - zhruba to isté, čo je v poslednej podkapitole tejto kapitoly v texte s poznámkami:
Video: 06konver06sumar.mkv a 06konver06sumar.mp4
Tabuľa: 06konver06sumar.zip

[Martin Sleziak]

T0,T1 a T2-priestory

Video: 07oddel01haus.mkv a 07oddel01haus.mp4
Tabuľa: 07oddel01haus.zip

[Martin Sleziak]

Regulárne a úplne regulárne priestory

Video: 07oddel02reg.mkv a 07oddel02reg.mp4
Tabuľa: 07oddel02reg.zip

[Martin Sleziak]

Normálne priestory

Veci, čo som písal: 07oddel03norm.zip
Nechať to v jednom videu sa mi zdalo, že by bolo pridlhé - tak je tu viacero kratších:
07oddel03norm01.mkv a 07oddel03norm01.mp4: Definícia a základné vlastnosti
07oddel03norm02.mkv a 07oddel03norm02.mp4: Urysohnova lema
07oddel03norm03.mkv a 07oddel03norm03.mp4: Tietzeho veta
07oddel03norm04.mkv a 07oddel03norm04.mp4: Kontrapríklady týkajúce sa normálnych priestorov

[Martin Sleziak]

Kompaktnosť - úvod
08komp01.mkv a 08komp01.mp4
08komp01.zip

Kompaktnosť a konvergencia
08komp02konv.mkv a 08komp02konv.mp4
08komp02konv.zip

[Martin Sleziak]

Spojitý obraz kompaktného priestoru

Video: 08komp03.mkv a 08komp03.mp4
Tabuľa: 08komp03.zip

Tichonovova veta

Video: 08komp04Tich.mkv a 08komp04Tich.mp4
Tabuľa: 08komp04Tich.zip