Hľadáme bázu podpriestoru

[Martin Sleziak]

Úloha je takáto:
Máme zadané nejaké vektory $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$. Okrem toho máme zadané vektory $\vec y_1$, $\vec y_2$. (Všetky ležia v nejakom vektorovom priestore $V$.)
Našou úlohou je doplniť vektory $\vec y_1$, $\vec y_2$ na bázu priestoru $[\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3]$. (Alebo zdôvodniť, že sa to nedá.)

Riešili sme na cviku viacero úloh podobného typu, kde sme dopĺňali na bázu celého priestoru. Pozrime sa na to, ako sa zmení situácia teraz, keď chceme len bázu nejakého podpriestoru.

Úlohu podobného typu ako je táto sme riešili aj na jednom z cvičení - v tom prípade sme mali podpriestor dimenzie 4: viewtopic.php?p=5021#p5021

Vyskúšajme to pre $V=(\mathbb Z_5)^4$ a vektory
$\vec x_1=(1,4,0,1)$,
$\vec x_2=(2,4,3,2)$
$\vec x_3=(3,1,1,2)$
$\vec y_1=(4,2,3,4)$,
$\vec y_2=(0,4,1,4))$.

Pracujeme s priestorom $S=[\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3]$. Môže byť užitočné nájsť nejakú jednoduchšiu bázu a zistiť jeho dimenziu.
Ak si vezmeme tieto tri vektory, tak nám vyjde po úprave na RTM, že dimenzia je $3$ a ten istý priestor sa dá napísať ako $[\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3]$ pre
$\vec a_1=(1,0,0,3)$,
$\vec a_2=(0,1,0,2)$,
$\vec a_3=(0,0,1,1)$.

Môžeme si na RTM upraviť aj maticu, ktorej riadky sú $\vec y_1$ a $\vec y_2$, dostaneme vektory
$\vec b_1=(1,0,0,3)$,
$\vec b_2=(0,1,4,1)$.
Týmto sme zistili, že $\vec y_1$, $\vec y_2$ sú nezávislé. Keby tieto vektory boli lineárne závislé, tak nemôžu byť súčasťou bázy.
A tiež si môžeme uvedomiť, že pôvodná úloha je ekvivalentná s úlohou doplniť na bázu priestoru $S$ vektory $\vec b_1$ a $\vec b_2$.

Oplatí sa nám skontrolovať, či $\vec b_1$ a $\vec b_2$ patria do $S$. (Alebo to môžeme robiť s pôvodnými vektormi $\vec y_1$, $\vec y_2$.)
Ak by totiž nepatrili do $S$, tak nemôžu byť súčasťou nejakej bázy tohoto priestoru.
Zistiť, či nejaký vektor patrí do lineárneho obalu vektorov $\vec a_1,\vec a_2, \vec a_3$ vieme ľahko. (Tieto tri vektory sú také, že tvoria riadky matice v redukovanom tvare.)
V tomto prípade vyjde, že $\vec b_1,\vec b_2\in S$ (resp. aj $\vec y_1,\vec y_2\in S$).

Pretože $\dim(S)=3$, chýba nám ešte jeden vektor.
Vieme, že po pridaní niektorého vektora spomedzi $\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3$ k vektorom $\vec b_1$ a $\vec b_2$ dostaneme bázu.
Pretože vektory $\vec b_1$ a $\vec b_2$ majú vedúce jednotky na prvej a druhej pozícii, určite sa dá pridať vektor $\vec a_3=(0,0,1,1)$.
(Samozrejme, je veľa ďalších možností, ako sa tieto dva vektory dajú doplniť na bázu podpriestoru $S$ - ale pre tento vektor vidíme hneď, že sme dostali lineárne nezávislé vektory.)

A teda vektor $\vec a_3$ je aj vektor, ktorého pridaním k $\vec y_1$, $\vec y_2$ dostaneme bázu zadaného podpriestoru.