Pre ktoré $\vec x$ platí $\vec xP=-\vec x$?

[Martin Sleziak]

Mali sme úlohu nájsť maticu projekcie na zadaný podpriestor.
V tejto úlohe som pridal aj otázku: Pre ktoré vektory platí $\vec xP=-\vec x$?

Ak ste už našli maticu $P$, tak sa také vektory dajú nájsť riešením sústavy - a ak ste ju vyriešili, tak ste zistili, že to platí iba pre $\vec x=\vec 0$.
Skúsme sa pozrieť na to, že to v skutočnosti pre ľubovoľnú maticu ortogonálnej projekcie.
Snažíme sa teda ukázať niečo takéto.

Tvrdenie. Nech $S$ je podpriestor $\mathbb R^n$ a $P$ je matica ortogonálnej projekcie na podpriestor $S$. Potom rovnosť
$$\vec xP=-\vec x$$
platí iba pre vektor $\vec x=\vec 0$.

Máme viacero možností ako to dokázať.

Skalárny súčin
Vieme, že $\vec x-\vec xP\in S^\bot$. Dostaneme z toho niečo, ak máme $\vec x=-\vec xP$?

Spoiler:

$\langle \vec x,\vec x-\vec xP\rangle =0$ $\Rightarrow$ $\langle \vec x,2\vec x\rangle =0$ $\Rightarrow$ $|\vec x|=0$ $\Rightarrow$ $\vec x=0$

Rozklad na vektor z $S$ a $S^\bot$

Vieme, že každý vektor $\vec x\in\mathbb R^n$ sa dá jednoznačne zapísať ako $\vec x=\vec s+\vec t$ pre nejaké vektory $\vec s\in S$, $\vec t\in S^T$. Pritom vektor $\vec s$ je práve ortogonálna projekcia, t.j. $\vec s=\vec xP$.
Dá sa z tohoto odvodiť, že uvedená rovnosť platí iba pre $\vec x=\vec 0$?

Spoiler:

\begin{align*}
\vec s&=-\vec x\\
\vec s&=-(\vec s+\vec t)\\
2\vec s&=-\vec t\\
-2\vec s&=\vec t
\end{align*}
Vidíme teda, že $\vec t$ patrí do $S$ a súčasne do $S^\bot$.
To ale znamená, že $\vec t=\vec 0$.
Z toho už dostaneme aj $\vec s=\vec 0$ a teda aj $\vec x=\vec s+\vec t=\vec0$.

Idempotentnosť
Dalo by sa niečo dostať z toho, že $P^2=P$?

Spoiler:

Čo viem povedať o vektore $\vec xP^2$?

Spoiler:

Súčasne máme tieto dve rovnosti:
\begin{align*}
\vec xP^2&=\vec xP=-\vec x\\
\vec xP^2&=(\vec xP)P=-\vec xP = \vec x\\
\end{align*}
Máme teda $\vec x=-\vec x$. Pre reálne vektory to už znamená, že $\vec x=\vec0$.

Idempotentnosť ešte raz
Pýtame sa vlastne na riešenia rovnice $\vec x(I+P)=\vec 0$.
Vedeli by sme použitím rovnosti $P^2=P$ odvodiť, že $I+P$ je regulárna?

Hint:

Spoiler:

Čomu sa rovná $(I+P)(I-\frac12P)$?

Výpočet:

Spoiler:

$(I+P)(I-\frac12P)=I+\frac12P-\frac12P^2=I$
Vidíme teda, že $I+P$ je regulárna matica (našli sme inverznú).
Teda $\vec x(I+P)=\vec 0$ platí iba pre $\vec x=\vec0$.

Možno sa vo vyššie uvedenom riešení zdať, že sme nejakým záhadným spôsobom "uhádli" čomu sa rovná $P^{-1}$.
Na tento tvar sa dá nie moc ťažko prísť.

Spoiler:

Chceme $(I+P)(aI+bP)=I$, a využijeme $P^2=P$.
T.j. máme $aI+(a+b)P+bP^2=aI+(a+2b)P=I$, teda chceme $a=1$, $a+2b=0$, z čoho dostaneme $a=1$, $b=-\frac12$.

[Martin Sleziak]

Vlastné hodnoty matice projekcie

Súčasne využijem túto úlohu na to aby som spomenul pojem vlastnej hodnoty a vlastného vektoru.
Týmto pojmom sa budeme venovať neskôr, definícia je taká, že $\lambda\in\mathbb R$ je vlastná hodnota matice $P$ ak existuje nenulový vektor $\vec x$ taký, že $\vec xP=\lambda\vec x$.

Teda tu sme vlastne overili, že $-1$ nie je vlastná hodnota.
Dalo by sa dokázať viac. Vlastné hodnoty môžu byť iba $0$ alebo $1$.

Takáto úloha sa vyskytla aj v minulosti a veľmi pravdepodobne bude medzi PÚ aj teraz:

Dokážte, že ak štvorcová matica $A$ je idempotentná, teda ak $A^2=A$, tak všetky jej vlastné hodnoty sa rovnajú $0$ alebo $1$.

Pozeráme sa tu na matice spĺňajúce rovnosť $A^2=A$. A táto úloha hovorí, že $\lambda\vec x=\vec xA$ môžeme mať nenulové riešenie len ak $\lambda\in\{0,1\}$.
Môžete sa zamyslieť aj nad touto všeobecnejšou úlohou už teraz - a prípadne sa k nej vrátiť neskôr, keď sa budeme učiť o vlastných hodnotách a vlastných vektoroch.