Pre ktoré t dostaneme barycentrický súradnicový systém?

[Martin Sleziak]

Na fóre je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa barycentrický súradníc, linky nájdete pozbierané v tomto topicu: viewtopic.php?t=1509

Nájdite tie hodnoty parametra $t\in\mathbb R$, pre ktoré body $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém v $\mathbb R^3$.
\begin{align*}
A_0&=(1,1,t)\\
A_1&=(2,2,0)\\
A_2&=(-1,-1,3)\\
A_3&=(0,3,t)
\end{align*}

Sústava $\lambda_0A_0+\dots+\lambda_n A_n=X$
Vieme, že b.s.s. dostaneme p.v.k pre každé $X\in\mathbb R^3$ existujú jednoznačne určené $\lambda_0,\dots,\lambda_3\in\mathbb R$ také, že
\begin{align*}
\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3&=1\\
\lambda_0A_1+\lambda_1A_2+\lambda_2A_2+\lambda_3A_3&=1
\end{align*}
Toto nám dá sústavu štyroch rovníc s~neznámymi $\lambda_0,\dots,\lambda_3$ a my len chceme overiť, pre ktoré $t\in\mathbb R$ je matica sústavy regulárna.

$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 &-1 & 0 \\
1 & 2 &-1 & 3 \\
t & 0 & 3 & t \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 &-2 &-1 \\
1 & 1 &-2 & 2 \\
t &-t &3-t& 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 &-2 &-1 \\
1 &-2 & 2 \\
-t &3-t& 0 \\
\end{vmatrix}=\dots=9(t-1)$

Spoiler:

$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 &-1 & 0 \\
1 & 2 &-1 & 3 \\
t & 0 & 3 & t \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 &-2 &-1 \\
1 & 1 &-2 & 2 \\
t &-t &3-t& 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 &-2 &-1 \\
1 &-2 & 2 \\
-t &3-t& 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 &-2 &-1 \\
0 & 0 & 3 \\
-t &3-t& 0 \\
\end{vmatrix}=$ $
-3\begin{vmatrix}
1 &-2 \\
-t &3-t \\
\end{vmatrix}=-3(3-3t)=9(t-1)$

Vidíme, že okrem $t=1$ dostaneme regulárnu maticu a teda vtedy zadané body tvoria barycentrický súradnicový systém.

Zodpovedajúci a.s.s.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$
Ďalšia ekvivalentná podmienka je, že vektory $\vekt{A_0A_1}$, $\vekt{A_0A_2}$ a $\vekt{A_0A_3}$ tvoria bázu $\mathbb R_3$, t.j. spolu s bodom $A_0$ dostaneme afinný súradnicový systém.
Opäť nám stačí zisťovať, či je nejaká matica regulárna - v tomto prípade matica zostavená z týchto troch vektorov. 

\begin{align*}
\vekt{A_0A_1}&=(1,1,-t)\\
\vekt{A_0A_2}&=(-2,-2,3-t)\\
\vekt{A_0A_3}&=(-1,2,0)\\
\end{align*}
Keď sa pozriete na predošlé riešenie, tak to sú stĺpce matice, ktorú sme dostali po niekoľkých krokoch výpočtu.
(Predošlý postup som naschvál rátal takým spôsobom, aby som tam dostal tieto vektory - a teda aby bolo vidno, že tieto dve podmienky veľmi úzko súvisia.)

Hľadanie (nad)roviny v tvare $ax_1+bx_2+cx_3+d=0$.
Body tvoria b.s.s. práve vtedy, keď neležia v tej istej nadrovine.
My pracujeme v $\mathbb R^3$, teda nadrovina je rovina.
Stačí teda vyskúšať, či vieme nájsť nadrovinu obsahujúcu všetky štyri body.
Zistíme, že sa to dá iba pre $t=1$. (V tom prípade dostaneme rovinu $2x_1+x_2+3x_4-6=0$.)

Spoiler:

$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & t & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
-1 &-1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & t & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
0 & 0 &3+t& 2 & 0 \\
0 & 0 & 6 & 3 & 0 \\
-1 &-1 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 3 & t & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-3 &-1 & 0 \\
0 & 0 &3+t& 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & t & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-3 &-1 & 0 \\
0 & 0 &t-1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & t & 1 & 0
\end{array}\right)
$

Pre $t\ne1$ neexistuje riešenie a pre $t=1$ dostaneme:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-3 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 3 &-1 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 3 &-1 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 0 & 1 & 0 \\
0 &-3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

Riešenia tejto sústavy sú $(2,1,3,-6)$, teda uvedené štyri body ležia v rovine $2x_1+x_2+3x_4-6=0$.

Môžeme si všimnúť, že aj pri tomto postupe sa vyskytla veľmi podobná matica ako pri predchádzajúcich - akurát transponovaná. V matici sústavy sú súradnice bodov v riadkoch, pri prvom riešení boli v stĺpcoch.